4.2.2 Prove que a forma geral de uma matriz 2 times 2 unitária unimodular é
U=(cc a & b -b^* & a^* )
com a^* a+b^* b=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a forma geral de uma matriz 2times2 que seja unitária (isto é, satisfaz U^dag>=rU=I) e unimodular ( detU=1). Vamos usar as propriedades de matrizes unitárias: colunas ortonormais, e depois impor detU=1.

Passo 2

Escrevemos
U= u11 & u12 u21 & u22
e exigimos unitariedade:
  1. As colunas têm norma 1:
|u11|^2 + |u21|^2 =1, |u12|^2 + |u22|^2 =1
  1. Colunas são ortogonais:
u11^*,u12 + u21^*,u22 = 0

Passo 3

Definimos para abreviar
u11=a, u21=c,
de modo que
|a|^2 + |c|^2 = 1
Agora a segunda coluna l(u12,u22r)^T deve ser ortonormal a (a,c)^T. A forma geral do complementar ortonormal em C^2 é, até uma fase e^iphi,
u12 u22 = -,e^iphi,c^* ;e^iphi,a^* ,
que de fato satisfaz norma 1 e produto interno zero.

Passo 4

Portanto
U = a & -,e^iphic^* c & ;e^iphia^*
Calculamos o determinante:
detU = a,(e^iphia^*) ;-;(-e^iphic^*),c = e^iphil(|a|^2+|c|^2r) = e^iphicdot1 = e^iphi

Passo 5

Como exigimos unimodularidade ( detU=1), temos e^iphi=1. Logo phi=0 (módulo 2pi) e
U = a & -,c^* c & ;a^* , |a|^2+|c|^2=1

Passo 6

Para chegar na forma final do enunciado, basta renomear
b = -,c^* Longrightarrow c = -,b^*,
de onde |a|^2+|b|^2=1. Assim finalmente
U = a & b -,b^* & a^* , a^*a + b^*b = 1

Resposta

U = a & b -,b^* & a^* , com a^*a + b^*b = 1

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