4.2.2 Prove que a forma geral de uma matriz unitária unimodular é
com a^* a+b^* b=1.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a forma geral de uma matriz 2times2 que seja unitária (isto é, satisfaz U^dag>=rU=I) e unimodular (detU=1). Vamos usar as propriedades de matrizes unitárias: colunas ortonormais, e depois impor detU=1.
Passo 2
Escrevemos
U= u11 & u12 u21 & u22
e exigimos unitariedade:
As colunas têm norma 1:
|u11|^2 + |u21|^2 =1, |u12|^2 + |u22|^2 =1
Colunas são ortogonais:
u11^*,u12 + u21^*,u22 = 0
Passo 3
Definimos para abreviar
u11=a, u21=c,
de modo que
|a|^2 + |c|^2 = 1
Agora a segunda coluna l(u12,u22r)^T deve ser ortonormal a (a,c)^T. A forma geral do complementar ortonormal em C^2 é, até uma fase e^iphi,
u12 u22 = -,e^iphi,c^* ;e^iphi,a^* ,
que de fato satisfaz norma 1 e produto interno zero.