4.2.2 Prove que a forma geral de uma matriz 2 \times 2 unitária unimodular é
\mathrm{U}=\left(\begin{array}{cc} a & b \\\\ -b^{*} & a^{*} \end{array}\right)
\operatorname{com} a^{*} a+b^{*} b=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a forma geral de uma matriz 2\times2 que seja unitária (isto é, satisfaz \mathrm{U}^\dagger\mathrm{U}=\mathrm{I}) e unimodular ( \det\mathrm{U}=1). Vamos usar as propriedades de matrizes unitárias: colunas ortonormais, e depois impor \det\mathrm{U}=1.

Passo 2

Escrevemos
\mathrm{U}=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12}\\\ u_{21} & u_{22} \end{pmatrix}
e exigimos unitariedade:
  1. As colunas têm norma 1:
|u_{11}|^2 + |u_{21}|^2 =1, \quad |u_{12}|^2 + |u_{22}|^2 =1.
  1. Colunas são ortogonais:
u_{11}^*\,u_{12} + u_{21}^*\,u_{22} = 0.

Passo 3

Definimos para abreviar
u_{11}=a,\quad u_{21}=c,
de modo que
|a|^2 + |c|^2 = 1.
Agora a segunda coluna \bigl(u_{12},u_{22}\bigr)^T deve ser ortonormal a (a,c)^T. A forma geral do complementar ortonormal em \mathbb{C}^2 é, até uma fase e^{i\varphi},
\begin{pmatrix} u_{12}\\\ u_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\,e^{i\varphi}\,c^*\\\ \;e^{i\varphi}\,a^* \end{pmatrix},
que de fato satisfaz norma 1 e produto interno zero.

Passo 4

Portanto
\mathrm{U} = \begin{pmatrix} a & -\,e^{i\varphi}c^*\\\ c & \;e^{i\varphi}a^* \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det\mathrm{U} = a\,(e^{i\varphi}a^*) \;-\;(-e^{i\varphi}c^*)\,c = e^{i\varphi}\bigl(|a|^2+|c|^2\bigr) = e^{i\varphi}\cdot1 = e^{i\varphi}.

Passo 5

Como exigimos unimodularidade ( \det\mathrm{U}=1), temos e^{i\varphi}=1. Logo \varphi=0 (módulo 2\pi) e
\mathrm{U} = \begin{pmatrix} a & -\,c^*\\\ c & \;a^* \end{pmatrix}, \quad |a|^2+|c|^2=1.

Passo 6

Para chegar na forma final do enunciado, basta renomear
b = -\,c^* \quad\Longrightarrow\quad c = -\,b^*,
de onde |a|^2+|b|^2=1. Assim finalmente
\mathrm{U} = \begin{pmatrix} a & b\\\\ -\,b^* & a^* \end{pmatrix}, \quad a^*a + b^*b = 1.

Resposta

\mathrm{U} = \begin{pmatrix} a & b\\\\ -\,b^* & a^* \end{pmatrix}, \quad \text{com}\quad a^*a + b^*b = 1.

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