4.2.2 Prove que a forma geral de uma matriz 2 \times 2 unitária unimodular é
\mathrm{U}=\left(\begin{array}{cc} a & b \\\\ -b^{*} & a^{*} \end{array}\right)
\operatorname{com} a^{*} a+b^{*} b=1.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a forma geral de uma matriz 2\times2 que seja unitária (isto é, satisfaz \mathrm{U}^\dagger\mathrm{U}=\mathrm{I}) e unimodular (\det\mathrm{U}=1). Vamos usar as propriedades de matrizes unitárias: colunas ortonormais, e depois impor \det\mathrm{U}=1.
Agora a segunda coluna \bigl(u_{12},u_{22}\bigr)^T deve ser ortonormal a (a,c)^T. A forma geral do complementar ortonormal em \mathbb{C}^2 é, até uma fase e^{i\varphi},