4.2.6 Rotacione uma função de onda não-relativista \tilde{\psi}=\left(\psi_{\uparrow}, \psi_{\downarrow}\right) de spin 1 / 2 ao redor do eixo z por um ângulo pequeno d \theta. Ache o gerador correspondente.

Passo 1

O enunciado pede para obtermos a rotação infinitesimal de uma spinor
\tilde\psi=(\psi_{\uparrow},\psi_{\downarrow}) de spin 1/2 em torno do eixo z, por um ângulo pequeno d\theta, e identificar o gerador dessa rotação. Vamos usar o fato de que, em mecânica quântica, rotações são geradas pelos operadores de momento angular (aqui só a parte de spin).

Passo 2

A rotação finita em torno de um eixo unitário \hat n por ângulo \theta age sobre o spinor via
U(\hat n,\theta) =\exp\!\bigl(-\tfrac{i}{\hbar}\,\theta\,\hat S\!\cdot\!\hat n\bigr).
Para um ângulo infinitesimal d\theta em torno de z, temos a expansão em primeira ordem
U_z(d\theta) =1-\frac{i}{\hbar}\,\hat S_z\,d\theta+O(d\theta^2).

Passo 3

No caso de spin 1/2, o operador de spin z vale
\hat S_z =\frac{\hbar}{2}\,\sigma_z =\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Substituindo em U_z(d\theta) obtemos
U_z(d\theta) =1-\frac{i}{\hbar}\,\frac{\hbar}{2}\,\sigma_z\,d\theta =1-i\,\frac{\sigma_z}{2}\,d\theta.
Se escrevemos a rotação infinitesimal como
\tilde\psi'\!=\!(1 - i\,G\,d\theta)\,\tilde\psi, então o gerador G é
G=\frac{\sigma_z}{2}.

Resposta

O gerador da rotação infinitesimal em torno do eixo z é
G=\frac{\sigma_z}{2} \quad\bigl(\text{equivalente a }\hat S_z=\tfrac{\hbar}{2}\sigma_z\bigr).

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