4.2.6 Rotacione uma função de onda não-relativista tildepsi=(psiuparrow, psidownarrow) de spin 1 / 2 ao redor do eixo z por um ângulo pequeno d theta. Ache o gerador correspondente.

Passo 1

O enunciado pede para obtermos a rotação infinitesimal de uma spinor
tildepsi=(psiuparrow,psidownarrow) de spin 1/2 em torno do eixo z, por um ângulo pequeno dtheta, e identificar o gerador dessa rotação. Vamos usar o fato de que, em mecânica quântica, rotações são geradas pelos operadores de momento angular (aqui só a parte de spin).

Passo 2

A rotação finita em torno de um eixo unitário hat n por ângulo theta age sobre o spinor via
U(hat n,theta) =exp!l(-tfracihbar,theta,hat S!cdot!hat nr)
Para um ângulo infinitesimal dtheta em torno de z, temos a expansão em primeira ordem
Uz(dtheta) =1-ihbar,hat Sz,dtheta+O(dtheta^2)

Passo 3

No caso de spin 1/2, o operador de spin z vale
hat Sz =hbar2,sigmaz =hbar2 1 & 0 0 & -1

Passo 4

Substituindo em Uz(dtheta) obtemos
Uz(dtheta) =1-ihbar,hbar2,sigmaz,dtheta =1-i,sigmaz2,dtheta
Se escrevemos a rotação infinitesimal como
tildepsi'!=!(1 - i,G,dtheta),tildepsi, então o gerador G é
G=sigmaz2

Resposta

O gerador da rotação infinitesimal em torno do eixo z é
G=sigmaz2 l(equiva<=nte a hat Sz=tfrachbar2sigmazr)

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