Considere a equação x+raizx^2+x+m=m, onde m é um número real.
Para m=-1, determine a raiz real da equação.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com raiz quadrada
x + raizx^2 + x + m = m
quando m = -1. O conteúdo principal é resolver uma equação radical: vamos precisar impor o domínio do radical, isolar a raiz, impor a não negatividade ao lado isolado, elevar ao quadrado, solucionar e conferir eventuais raízes extranhas.

Passo 2

Substituindo m=-1, a equação fica
x + raizx^2 + x - 1 = -1
Para que o radical exista, precisamos de
x^2 + x - 1 >= 0
Resolvendo a inequação quadrática, o discriminante é De<a = 1 + 4 = 5, e as raízes são
-1 pm raiz52
Logo o domínio é
x <= -1 - raiz52 ou x >= -1 + raiz52

Passo 3

Isolamos a raiz:
raizx^2 + x - 1 = -1 - x
Como o lado esquerdo é >= 0, devemos ter
-1 - x >= 0 Longrightarrow x <= -1
Combinando isso com o domínio, vemos que a única parte possível é
x <= -1 - raiz52
pois -1 - raiz52approx -1,618<= -1.

Passo 4

Elevamos ao quadrado ambos os lados:
x^2 + x - 1 = (-1 - x)^2 = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
Cancelando x^2 e agrupando termos, vem
x + (-1) = 2x + 1 Longrightarrow -1 - 1 = 2x - x Longrightarrow x = -2

Passo 5

Verificamos se x=-2 está no intervalo permitido ( x<= -1,618) e se satisfaz a equação original:
LHS = -2 + raiz(-2)^2 + (-2) - 1 = -2 + raiz4 - 2 - 1 = -2 + 1 = -1 = RHS
Tudo confere, sem raízes extranhas.

Resposta

A raiz real da equação, para m=-1, é x = -2.

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