(UFC-2004) As raízes da equação x^2-p x+ q = 0, onde p e q são constantes, são os cubos das raízes da equação x^2+x+1=0. Determine os valores de p e q.

Passo 1

O enunciado pede os valores de p e q tais que as raízes da equação
x^2 - p,x + q = 0
são exatamente os cubos das raízes da equação
x^2 + x + 1 = 0
O conteúdo necessário envolve as relações de Viète para soma e produto de raízes e a identidade para soma de cubos.

Passo 2

Sejam alpha e beta as raízes da equação
x^2 + x + 1 = 0
Pelas fórmulas de Viète,
alpha + beta = -1, alphabeta = 1

Passo 3

Como as raízes da primeira equação são alpha^3 e beta^3, por Viète temos
alpha^3 + beta^3 = p, alpha^3beta^3 = q

Passo 4

Para calcular alpha^3 + beta^3 usamos a identidade
alpha^3 + beta^3 = (alpha + beta)^3 - 3,alphabeta,(alpha + beta)
Substituindo alpha+beta = -1 e alphabeta = 1,
alpha^3 + beta^3 = (-1)^3 - 3cdot1cdot(-1) = -1 + 3 = 2
Logo,
p = 2

Passo 5

Para q basta notar que
q = alpha^3beta^3 = (alphabeta)^3 = 1^3 = 1

Resposta

p = 2, q = 1

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