(Cefet/PR-2004) Uma companhia distribuidora de energia criou um método para cálculo das contas de luz: resolveu cobrar 5 u.m. de todos os usuários com consumo inferior ou igual a 100 kWh ; para os que consomem entre 100 e 300 kWh cobrará 0,05 u.m./kWh e para aqueles que consomem a partir de 300 kWh cobrará 0,05 u.m./kWh +1 u.m. Sendo assim, é verdadeiro afirmar que a função que representa este problema:
A) é crescente, pois quanto mais se gasta mais se paga.
B) é uma função descontínua em x=300 kWh.
C) é uma função linear.
D) terá conjunto imagem y in IR / y >= 5.

Passo 1

O enunciado define uma função f que dá o valor da conta de luz em função do consumo x (em kWh). O conteúdo aqui é análise de função definida por partes, envolvendo continuidade, monotonicidade, linearidade e conjunto- imagem.

Passo 2

Definimos
f(x)= 5, & x<= 100, 0,05,x, & 100< x<300, 0,05,x+1, & x>= 300
Em x=100 temos pela segunda fórmula ;0,05cdot100=5, igual ao valor da primeira, logo f é contínua em x=100.
Para x<=100, f(x)=5 é constante; para x>100 as fórmulas 0,05x e 0,05x+1 são crescentes. Assim, f é não decrescente (ou seja, crescente no sentido amplo).

Passo 3

Em x=300 o valor pela segunda fórmula tende a
limxto300^-f(x)=0,05cdot300=15
enquanto
f(300)=0,05cdot300+1=16
Como 15neq16, há salto e, portanto, descontinuidade em x=300.

Passo 4

A função não é linear no seu domínio inteiro, pois é dada por três expressões distintas, embora cada uma seja linear no seu intervalo.

Passo 5

O conjunto-imagem é
f(x)mid x<=100=[5,5]=5, f(x)mid100< x<300=(5,15), f(x)mid x>=300=[16,infty),
portanto
Im(f)=[5,15]cup[16,infty),
e não todo yinRmid y>=5.

Passo 6

Somente a alternativa que afirma a descontinuidade em x=300 está correta.

Resposta

B) é uma função descontínua em x=300 kWh.

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