Considere a fração , onde .
a) Qual o comprimento do pré-período de ?
b) Dado , determine a relação entre os pré-períodos de e .
c) Determine de maneira que o pré-período e o período de tenham três algarismos.
Passo 1
O enunciado trata da expansão decimal de com (), pede a) o comprimento do pré-período de , b) a relação entre os pré-períodos de e () e c) achar para que tanto o pré-período como o período de tenham três dígitos.
Passo 2
Para a) note que
Como , ao deslocar a vírgula casas para a direita obtemos
Como 3^beta é primo em relação a 10, tfrac13^beta é decimal puramente periódico (pré-período zero) e seu período é ord3^beta(10). O fator 10^-alphabeta apenas desloca a vírgula em alphabeta casas, gerando pré-período de comprimento alphabeta e período igual ao de tfrac13^beta.
Passo 4
Para c) queremos
pré-período=alphabeta=3 e período=ord3^beta(10)=3 éíí
Em naturais a equação alphabeta=3 só admite (alpha,beta)=(1,3) ou (3,1). Se beta=1 então ord3(10)=1, não serve. Se beta=3 então
ord27(10)=3
(até conferido por 10^3equiv1pmod27), e com alpha=1 obtemos pré-período e período de três dígitos.
Resposta
a) alpha.
b) pré-período de tfrac1n^beta é alphabeta e seu período é o mesmo de tfrac13^beta.
c) beta=3 (com alpha=1).
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 498