Considere a fração 1n, onde n=3 cdot 10^alpha(alpha >= 1).
a) Qual o comprimento do pré-período de 1n ?
b) Dado beta in N, beta >= 1, determine a relação entre os pré-períodos de 1n e 1n^beta.
c) Determine beta de maneira que o pré-período e o período de 1n^beta tenham três algarismos.

Passo 1

O enunciado trata da expansão decimal de tfrac1n com n=3cdot10^alpha ( alpha>=1), pede a) o comprimento do pré-período de tfrac1n, b) a relação entre os pré-períodos de tfrac1n e tfrac1n^beta ( beta>=1) e c) achar beta para que tanto o pré-período como o período de tfrac1n^beta tenham três dígitos.

Passo 2

Para a) note que
1n = 13cdot10^alpha = 13cdot10^-alpha
Como tfrac13=03, ao deslocar a vírgula alpha casas para a direita obtemos
1n=0underbrace00ldots0alpha3
Logo o pré-período tem comprimento alpha.

Passo 3

Para b) escrevemos
1n^beta =1(3cdot10^alpha)^beta =13^beta;10^-alphabeta
Como 3^beta é primo em relação a 10, tfrac13^beta é decimal puramente periódico (pré-período zero) e seu período é ord3^beta(10). O fator 10^-alphabeta apenas desloca a vírgula em alphabeta casas, gerando pré-período de comprimento alphabeta e período igual ao de tfrac13^beta.

Passo 4

Para c) queremos
pré-período=alphabeta=3 e período=ord3^beta(10)=3 éíí
Em naturais a equação alphabeta=3 só admite (alpha,beta)=(1,3) ou (3,1). Se beta=1 então ord3(10)=1, não serve. Se beta=3 então
ord27(10)=3
(até conferido por 10^3equiv1pmod27), e com alpha=1 obtemos pré-período e período de três dígitos.

Resposta

a) alpha.
b) pré-período de tfrac1n^beta é alphabeta e seu período é o mesmo de tfrac13^beta.
c) beta=3 (com alpha=1).

Exercícios de Livros Relacionados