1. Considere a função
onde são constantes. Ache os valores que e devem ter (em termos de ) para que essa função seja derivável em todos os pontos.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes em torno de um ponto
e pede que ajustemos as constantes (em função de ) para que seja derivável em todo ponto. Sabemos que, para , cada ramo já é derivável. Logo, precisamos apenas garantir que em a função seja contínua e que suas derivadas laterais coincidam.

Passo 2

Continuar a função em x=a significa ter
limxto a^-f(x)=limxto a^+f(x),
isto é,
a^2 = m,a + b

Passo 3

Para que a derivada exista em x=a, as derivadas laterais devem ser iguais:
f'(a^-)=f'(a^+)
O ramo xmapsto x^2 tem derivada 2x, logo em x=a vem f'(a^-)=2a. O ramo xmapsto m x+b tem derivada constante m, logo f'(a^+)=m. Assim,
2a = m

Passo 4

Substituindo m=2a na condição de continuidade a^2 = m,a + b, obtemos
a^2 = (2a),a + b Longrightarrow a^2 = 2a^2 + b Longrightarrow b = a^2 - 2a^2 = -a^2

Resposta

m = 2a
b = -a^2

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