- Considere a função
onde são constantes. Ache os valores que
e
devem ter (em termos de
) para que essa função seja derivável em todos os pontos.
Passo 1
O enunciado dá uma função definida por partes em torno de um ponto
e pede que ajustemos as constantes (em função de
) para que
seja derivável em todo ponto. Sabemos que, para
, cada ramo já é derivável. Logo, precisamos apenas garantir que em
a função seja contínua e que suas derivadas laterais coincidam.
Passo 2
Continuar a função em
significa ter
isto é,
Passo 3
Para que a derivada exista em
, as derivadas laterais devem ser iguais:
O ramo
tem derivada
, logo em
vem
. O ramo
tem derivada constante
, logo
. Assim,
Passo 4
Substituindo
na condição de continuidade
, obtemos