(UE-CE) Considere a matriz . A soma das raízes da equação det(M^2)=25 é igual a:
a) 14
b) -14
c) 17
d) -17
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
M = 1 & 2 & 3 2 & 3 & 2 3 & 2 & x
e pede os valores de x tais que det(M^2)=25. Vamos usar determinantes de matrizes e a propriedade de potência de determinante.
Passo 2
Lembramos que, para qualquer matriz quadrada M, vale
det(M^2) ;=;(det M)^2
Passo 3
Calculamos det M expandindo pela primeira linha:
det M =1cdotdet3 & 22 & x -2cdotdet2 & 23 & x +3cdotdet2 & 33 & 2
Os menores são det3 & 22 & x=3x-4, det2 & 23 & x=2x-6 e det2 & 33 & 2=4-9=-5.
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det M = (3x-4) - 2(2x-6) + 3(-5) = -x - 7
Passo 4
Substituindo em det(M^2)=(det M)^2 e igualando a 25, vem
(-x-7)^2 = 25
Passo 5
Resolvendo (-x-7)^2=25 obtemos -x-7=pm5, isto é
-x-7=5implies x=-12, -x-7=-5implies x=-2
A soma das raízes é -12 + (-2) = -14.
Resposta
-14
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 179