(UE-CE) Seja X=M+M^2+M^3+ldots+M^k, em que M é a matriz [ll1 & 1 0 & 1] e k é um número natural. Se o determinante da matriz X é igual a 324, então o valor de k^2+3 k-1 é:
a) 207
b) 237
c) 269
d) 377

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M = 1 & 1[6pt]0 & 1
e define
X = M + M^2 + M^3 + cdots + M^k,
pedindo que, sabendo det(X)=324, calculemos k^2+3k-1.
O conteúdo principal é cálculo de potências de matriz triangular unipotente e soma de matrizes, seguido de determinação do determinante.]

Passo 2

Observamos que M é triangular superior com autovalores iguais a 1, e uma potência M^n tem a forma
M^n = 1 & n[4pt]0 & 1
Isso pode ser visto pelo binômio de Newton aplicado a I+N, onde N=l[0&10&0r] e N^2=0.]

Passo 3

Então a soma X fica
X = sumi=1^k M^i = sumi=1^k 1 & i[4pt]0 & 1 = sumi=1^k1 & sumi=1^ki[4pt]0 & sumi=1^k1 = k & tfrack(k+1)2[6pt]0 & k ]

Passo 4

O determinante de X é
det(X) = kcdot k - 0cdotk(k+1)2 = k^2
Como det(X)=324, segue k^2=324 e, sendo k natural, k=18.

Passo 5

Por fim, calculamos
k^2 + 3k - 1 = 18^2 + 3cdot18 - 1 = 324 + 54 - 1 = 377

Resposta

d) 377

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