Considere a matriz
A=(rrr 1 & 1 & 1 x & y & z y+z & x+z & x+y )
Sem expandir, mostre que det A = 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 1 & 1 & 1 x & y & z y+z & x+z & x+y
e pede para mostrar que det A=0 sem expandir. O conteúdo envolve: operações elementares em linhas que preservam o determinante e o conceito de dependência linear entre linhas.

Passo 2

Vamos aplicar operações elementares em linhas que não modificam o valor do determinante:
1. R2>=ts R2 - x,R1.
2. R3>=ts R3 - y,R1.

Passo 3

Depois dessas operações, as linhas R2 e R3 tornam-se
R2' = R2 - xR1 = l(x,y,zr)-xl(1,1,1r)=(0,;y-x,;z-x),
R3' = R3 - yR1 = l(y+z,;x+z,;x+yr)-yl(1,1,1r)=(z,;x+z-y,;x)

Passo 4

Agora fazemos mais uma operação que também conserva o determinante:
R3'' = R3' - z,R1 = (z,;x+z-y,;x);-;z,(1,1,1)=(0,;x-y,;x-z)
Repare que
R3''=(0,;x-y,;x-z) = -,(0,;y-x,;z-x) = -,R2'
Ou seja, R3'' é proporcional (com fator -1) a R2'.

Passo 5

Em qualquer matriz, se duas linhas são proporcionais, o determinante é zero. Aqui chegamos a duas linhas proporcionais, logo
det A=0

Resposta

det A=0

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