(UF-RS) Considere o número complexo z=-raiz22(1+i) e a sequência z, z^2, z^3, z^4, ldots. O número de termos distintos dessa sequência é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z = -raiz22(1+i)
e pede quantos termos distintos há na sequência z, z^2, z^3, dots. Este é um problema de números complexos em forma polar, em que vamos usar o fato de que potências repetem-se quando o argumento acumulado alcança múltiplos de 2pi.

Passo 2

Primeiro calculamos o módulo e o argumento de z. Como lvert1+irvert=raiz2, temos
llvert -raiz22(1+i)rrvert =raiz22,lvert1+irvert =raiz22cdotraiz2 =1
O fator (1+i)/raiz2 tem argumento pi/4, e o sinal “ -” equivale a um fator e^ipi. Logo
z = e^i(pi/4 + pi) = e^i5pi/4

Passo 3

Em forma exponencial, as potências de z são
z^n = l(e^i5pi/4r)^n = e^i5npi/4
Para que a sequência comece a repetir, precisamos de
e^i5kpi/4 = 1 = e^i2pi m
para algum inteiro m.

Passo 4

Igualando os argumentos (mod 2pi),
5kpi4 = 2pi m Longrightarrow 5k = 8m
Como gcd(5,8)=1, a menor solução em k>0 ocorre para m=5, dando k=8. Ou seja, z^8=1 e as potências repetem a cada 8 termos.

Resposta

e) 8

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