(UF-RS) Considere o número complexo e a sequência . O número de termos distintos dessa sequência é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede quantos termos distintos há na sequência . Este é um problema de números complexos em forma polar, em que vamos usar o fato de que potências repetem-se quando o argumento acumulado alcança múltiplos de .
Passo 2
Primeiro calculamos o módulo e o argumento de . Como , temos
O fator (1+i)/raiz2 tem argumento pi/4, e o sinal “-” equivale a um fator e^ipi. Logo
z = e^i(pi/4 + pi) = e^i5pi/4
Passo 3
Em forma exponencial, as potências de z são
z^n = l(e^i5pi/4r)^n = e^i5npi/4
Para que a sequência comece a repetir, precisamos de
e^i5kpi/4 = 1 = e^i2pi m
para algum inteiro m.
Passo 4
Igualando os argumentos (mod 2pi),
5kpi4 = 2pi m Longrightarrow 5k = 8m
Como gcd(5,8)=1, a menor solução em k>0 ocorre para m=5, dando k=8. Ou seja, z^8=1 e as potências repetem a cada 8 termos.
Resposta
e) 8
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 6: Complexos, polinômios e equações - 8ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 10