(Unesp-SP) Sendo i a unidade imaginária e Z1 e Z2 os números complexos
Z1=i+i^2+i^3+ldots+i^22
Z2=i+i^2+i^3+ldots+i^78,
o produto (Z1 cdot Z2) resulta em:
a) (1+i)
b) (1-i)
c) (2 i)
d) -2 i
e) 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Z1 = i + i^2 + i^3 + dots + i^22,
Z2 = i + i^2 + i^3 + dots + i^78,
e depois obter o produto Z1cdot Z2.
O conteúdo é soma de potências de i e vamos usar a propriedade de que i^4=1, logo a soma de cada grupo de quatro potências é zero.

Passo 2

Observamos que
i^1 + i^2 + i^3 + i^4 = i -1 -i +1 = 0
Portanto, sempre que tivermos blocos de quatro termos completos, sua soma é zero. Só restam os termos do “resto” da divisão do número de potências por 4.

Passo 3

Para Z1, note que 22 = 4cdot5 + 2. Os primeiros 4cdot5=20 termos somam zero e restam
i^21 + i^22 = i^4cdot5+1 + i^4cdot5+2 = i^1 + i^2 = i + (-1) = i - 1
Logo
Z1 = i - 1

Passo 4

Para Z2, temos 78 = 4cdot19 + 2. Analogamente, os primeiros 76 termos somam zero e restam
i^77 + i^78 = i^4cdot19+1 + i^4cdot19+2 = i^1 + i^2 = i - 1
Portanto
Z2 = i - 1

Passo 5

Agora fazemos o produto
Z1cdot Z2 = (i - 1),(i - 1) = (i - 1)^2 = i^2 - 2,i + 1 = -1 - 2,i + 1 = -2,i

Resposta

(d) -2i

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