Considere uma pirâmide hexagonal regular reta, cujos vértices da base são pontos de uma superfície esférica de raio 5 cm .
Sabendo que:
  • o vértice da pirâmide encontra-se a uma distância de 254 cm do centro da superfície esférica;
  • as retas que contêm as arestas laterais dessa pirâmide são tangentes a essa superfície esférica nos vértices da base.
    calcule o volume da pirâmide

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide regular de base hexagonal cujos seis vértices da base estão sobre uma esfera de raio 5 cm centrada em O, e cujo vértice P satisfaz ,OP=tfrac254 cm. Além disso, cada aresta lateral PX é reta tangente à esfera no vértice X da base. Queremos o volume da pirâmide, para isso precisaremos achar a área da base (hexágono regular) e a altura da pirâmide.

Passo 2

Como PX é tangente à esfera em X, o raio OX é perpendicular a PX. No triângulo retângulo OPX com ângulo reto em X vale
OP^2 ;=; OX^2 ;+; PX^2
Substituindo OP=tfrac254 e OX=5 obtemos
PX^2 ;=;l(tfrac254r)^2 - 5^2 ;=;tfrac62516-25 ;=;tfrac22516 Longrightarrow PX=tfrac154 cm

Passo 3

Para determinar a altura da pirâmide, colocamos o centro da esfera em O=(0,0,0), a base no plano z=z0 e o vértice em P=(0,0,zP) com zP=tfrac254. Seja X=(x,y,z0) um vértice da base; a condição de tangência OXperp PX
lang<= x,y,z0rang<=cdotlang<= -x,-y,zP-z0rang<==0 ;Longrightarrow; -z0^2+z0,zP-rb^2=0,
onde rb^2=x^2+y^2=25-z0^2. Simplificando resulta
z0,zP=25 Longrightarrow z0=25zP=2525/4=4 cm

Passo 4

A interseção da esfera com o plano da base é um círculo de raio
rb=raiz5^2 - z0^2=raiz25-16=3 cm,
e num hexágono regular inscrito em círculo de raio rb a aresta vale s=rb=3 cm. A área da base é
Áreabase = 3raiz32,s^2 = 3raiz32cdot 3^2 = 27raiz32 cm^2 Á

Passo 5

A altura da pirâmide é
H = zP - z0 = 254-4 = 94 cm
Logo o volume é
V = 13,Áreabase,cdot H = 13,27raiz32,cdot94 = 81raiz38 cm^3 Á

Resposta

V = 81raiz38 cm^3

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