Considere uma pirâmide hexagonal regular reta, cujos vértices da base são pontos de uma superfície esférica de raio 5 cm .
Sabendo que:
- o vértice da pirâmide encontra-se a uma distância de
do centro da superfície esférica;
- as retas que contêm as arestas laterais dessa pirâmide são tangentes a essa superfície esférica nos vértices da base.
calcule o volume da pirâmide
Sabendo que:
calcule o volume da pirâmide
Passo 1
O enunciado descreve uma pirâmide regular de base hexagonal cujos seis vértices da base estão sobre uma esfera de raio
centrada em
, e cujo vértice
satisfaz
. Além disso, cada aresta lateral
é reta tangente à esfera no vértice
da base. Queremos o volume da pirâmide, para isso precisaremos achar a área da base (hexágono regular) e a altura da pirâmide.
Passo 2
Como
é tangente à esfera em
, o raio
é perpendicular a
. No triângulo retângulo
com ângulo reto em
vale
Substituindo
e
obtemos
Passo 3
Para determinar a altura da pirâmide, colocamos o centro da esfera em
, a base no plano
e o vértice em
com
. Seja
um vértice da base; a condição de tangência
dá
onde
. Simplificando resulta
Passo 4
A interseção da esfera com o plano da base é um círculo de raio
e num hexágono regular inscrito em círculo de raio
a aresta vale
. A área da base é
Passo 5
A altura da pirâmide é
Logo o volume é