(Unifesp-SP) Colocam-se
cubinhos de arestas unitárias juntos, formando um cubo de aresta
, onde
. Esse cubo tem as suas faces pintadas e depois é desfeito, separandose os cubinhos.
a) Obtenha os valores de
para os quais o número de cubinhos sem nenhuma face pintada é igual ao número de cubinhos com exatamente uma face pintada.
b) Obtenha os valores de
para os quais o número de cubinhos com pelo menos uma face pintada é igual a 56.
a) Obtenha os valores de
b) Obtenha os valores de
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um cubo de aresta
formado por
cubinhos unitários. Pintamos todas as faces externas e depois separamos os cubinhos. O conteúdo é contagem combinatória de cubinhos com diferentes números de faces pintadas. Precisamos:
a) Encontrar tal que o número de cubinhos sem nenhuma face pintada seja igual ao número de cubinhos com exatamente uma face pintada.
b) Encontrar tal que o número de cubinhos com pelo menos uma face pintada seja
.
a) Encontrar
b) Encontrar
Passo 2
Para contar os cubinhos, usamos que o número de cubinhos sem nenhuma face pintada é
, com exatamente uma face pintada é
, com exatamente duas faces pintadas é
e com exatamente três faces pintadas é
.
Passo 3
(a) Igualando o número de cubinhos sem nenhuma face pintada e com exatamente uma face pintada:
Como
implica
, dividimos por
e obtemos
Passo 4
(b) O número de cubinhos com pelo menos uma face pintada é
Como
, segue
Reescrevendo,
O discriminante é
e
Como
, concluímos
.
Resposta
a)
b)
b)