(Unifesp-SP) Colocam-se n^3 cubinhos de arestas unitárias juntos, formando um cubo de aresta n, onde n>2. Esse cubo tem as suas faces pintadas e depois é desfeito, separandose os cubinhos.
a) Obtenha os valores de n para os quais o número de cubinhos sem nenhuma face pintada é igual ao número de cubinhos com exatamente uma face pintada.
b) Obtenha os valores de n para os quais o número de cubinhos com pelo menos uma face pintada é igual a 56.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um cubo de aresta n formado por n^3 cubinhos unitários. Pintamos todas as faces externas e depois separamos os cubinhos. O conteúdo é contagem combinatória de cubinhos com diferentes números de faces pintadas. Precisamos:
a) Encontrar n tal que o número de cubinhos sem nenhuma face pintada seja igual ao número de cubinhos com exatamente uma face pintada.
b) Encontrar n tal que o número de cubinhos com pelo menos uma face pintada seja 56.

Passo 2

Para contar os cubinhos, usamos que o número de cubinhos sem nenhuma face pintada é (n-2)^3, com exatamente uma face pintada é 6(n-2)^2, com exatamente duas faces pintadas é 12(n-2) e com exatamente três faces pintadas é 8.

Passo 3

(a) Igualando o número de cubinhos sem nenhuma face pintada e com exatamente uma face pintada:
(n-2)^3 ;=; 6,(n-2)^2
Como n>2 implica n-2>0, dividimos por (n-2)^2 e obtemos
n-2 = 6 Longrightarrow n = 8

Passo 4

(b) O número de cubinhos com pelo menos uma face pintada é
n^3 - (n-2)^3 = 56
Como (n-2)^3 = n^3 - 6n^2 +12n -8, segue
n^3 - (n^3 - 6n^2 +12n -8) = 6n^2 -12n +8 = 56
Reescrevendo,
6n^2 -12n +8 -56 = 0 ;Longrightarrow; 6n^2 -12n -48 = 0 ;Longrightarrow; n^2 -2n -8 = 0
O discriminante é 36 e
n = 2pm 62 = 4 ou -2
Como n>2, concluímos n = 4.

Resposta

a) n = 8
b) n = 4

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