(UF-PE) Existem 5 e apenas 5 poliedros regulares convexos. Tal afirmação é verdadeira considerando-se o seguinte argumento: cada vértice de um poliedro é determinado por pelo menos três de suas faces, e o ângulo formado por essas faces deverá ser menor que
, para que o poliedro seja regular. Com relação a esse argumento, podemos afirmar que:
0-0) O argumento é falso quando as faces do poliedro forem hexágonos regulares.
1-1) O argumento é verdadeiro apenas quando as faces são quadrados ou triângulos equiláteros.
2-2) O argumento é falso quando as faces do poliedro são pentágonos regulares.
3-3) O argumento é verdadeiro para o octaedro e o tetraedro.
4-4) O argumento é verdadeiro apenas para o tetraedro e o icosaedro.
0-0) O argumento é falso quando as faces do poliedro forem hexágonos regulares.
1-1) O argumento é verdadeiro apenas quando as faces são quadrados ou triângulos equiláteros.
2-2) O argumento é falso quando as faces do poliedro são pentágonos regulares.
3-3) O argumento é verdadeiro para o octaedro e o tetraedro.
4-4) O argumento é verdadeiro apenas para o tetraedro e o icosaedro.
Passo 1
O enunciado usa o critério de que, num poliedro regular, em cada vértice se encontram pelo menos três faces regulares, e a soma dos ângulos internos dessas faces naquele vértice deve ser menor que
. Nosso objetivo é verificar, a partir desse critério, quais das afirmações 0–4 estão corretas.
Passo 2
Calculemos o ângulo interno
de um polígono regular de
lados:
Se
faces idênticas de
lados se encontrarem num vértice, exige-se
Passo 3
Analisamos caso a caso com
:
- Para
: . Pode ter ( ), ( ) ou ( ), todas . - Para
: . Só cabe ( ). - Para
: . Só cabe ( ). - Para
: . Com dá , falha a condição estrita .
Passo 4
Logo, só existem poliedros regulares convexos com faces triangulares (
), quadradas (
) ou pentagonais (
). Esses correspondem a:
- triângulos: tetraedro (
), octaedro ( ), icosaedro ( ); - quadrados: cubo (
); - pentágonos: dodecaedro (
).
O critério exclui corretamente hexágonos e aceita pentágonos.
Passo 5
Comparando com as opções:
-
- Falsa (o argumento exclui hexágonos corretamente).
-
- Falsa (também admite pentágonos, não só quadrados e triângulos).
-
- Falsa (o argumento mostra que pentágonos geram o dodecaedro).
-
- Verdadeira (vale para tetraedro e octaedro).
-
- Falsa (vale também para cubo, dodecaedro e icosaedro).
Resposta
3-3) O argumento é verdadeiro para o octaedro e o tetraedro.