(UF-PE) Existem 5 e apenas 5 poliedros regulares convexos. Tal afirmação é verdadeira considerando-se o seguinte argumento: cada vértice de um poliedro é determinado por pelo menos três de suas faces, e o ângulo formado por essas faces deverá ser menor que 360^circ, para que o poliedro seja regular. Com relação a esse argumento, podemos afirmar que:
0-0) O argumento é falso quando as faces do poliedro forem hexágonos regulares.
1-1) O argumento é verdadeiro apenas quando as faces são quadrados ou triângulos equiláteros.
2-2) O argumento é falso quando as faces do poliedro são pentágonos regulares.
3-3) O argumento é verdadeiro para o octaedro e o tetraedro.
4-4) O argumento é verdadeiro apenas para o tetraedro e o icosaedro.

Passo 1

O enunciado usa o critério de que, num poliedro regular, em cada vértice se encontram pelo menos três faces regulares, e a soma dos ângulos internos dessas faces naquele vértice deve ser menor que 360^circ. Nosso objetivo é verificar, a partir desse critério, quais das afirmações 0–4 estão corretas.

Passo 2

Calculemos o ângulo interno alpha de um polígono regular de k lados:
alpha = (k-2)cdot180^circk
Se p faces idênticas de k lados se encontrarem num vértice, exige-se
p,alpha < 360^circ

Passo 3

Analisamos caso a caso com p>=3:
  • Para k=3: alpha=60^circ. Pode ter p=3 ( 3times60=180), p=4 ( 240) ou p=5 ( 300), todas <360^circ.
  • Para k=4: alpha=90^circ. Só cabe p=3 ( 270<360).
  • Para k=5: alpha=108^circ. Só cabe p=3 ( 324<360).
  • Para k=6: alpha=120^circ. Com p=3 360^circ, falha a condição estrita <360^circ.

Passo 4

Logo, só existem poliedros regulares convexos com faces triangulares ( k=3), quadradas ( k=4) ou pentagonais ( k=5). Esses correspondem a:
  • triângulos: tetraedro ( 3times60), octaedro ( 4times60), icosaedro ( 5times60);
  • quadrados: cubo ( 3times90);
  • pentágonos: dodecaedro ( 3times108).
O critério exclui corretamente hexágonos e aceita pentágonos.

Passo 5

Comparando com as opções:
    1. Falsa (o argumento exclui hexágonos corretamente).
    1. Falsa (também admite pentágonos, não só quadrados e triângulos).
    1. Falsa (o argumento mostra que pentágonos geram o dodecaedro).
    1. Verdadeira (vale para tetraedro e octaedro).
    1. Falsa (vale também para cubo, dodecaedro e icosaedro).

Resposta

3-3) O argumento é verdadeiro para o octaedro e o tetraedro.

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