(U.E. Ponta Grossa-PR) Dado que um poliedro convexo tem 2 faces pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces triangulares, assinale o que for correto.
  1. Se o número de vértices do poliedro é 11, então n=4.
  2. Se o número de faces do poliedro é 16, então n=10.
  3. O menor valor possível para n é 1.
  4. Se a soma dos ângulos de todas as faces do poliedro é 3600^circ, então n=6.
  5. Se o número de arestas do poliedro é 25 , então n=8.

Passo 1

O enunciado dá um poliedro convexo com
  • 2 faces pentagonais,
  • 4 faces quadrangulares,
  • n faces triangulares.
    Usaremos as fórmulas de Euler
V - E + F = 2
e a relação entre arestas e faces
2E = sumfaces(número de lados da face) ú

Passo 2

O número total de faces é
F = 2 + 4 + n = 6 + n
Como as pentagonais têm 5 lados, as quadrangulares 4 e as triangulares 3, vale
2E = 2cdot5 + 4cdot4 + ncdot3 = 10 + 16 + 3n = 26 + 3n,
logo
E = 26 + 3n2

Passo 3

Para a afirmação 01: “Se V=11, então n=4.”
Pela fórmula de Euler,
11 - E + (6+n) = 2
e substituindo E = tfrac26+3n2, temos
11 - 26+3n2 + 6 + n = 2 ;Longrightarrow; 22 - (26+3n) + 12 + 2n = 4 ;Longrightarrow; 8 - n = 4 ;Longrightarrow; n = 4
Logo a afirmação 01 é correta.

Passo 4

Para a afirmação 02: “Se F=16, então n=10.”
Como F = 6 + n, basta resolver
6 + n = 16 Longrightarrow n = 10
Logo a afirmação 02 é correta.

Passo 5

Para a afirmação 04: “O menor valor possível para n é 1.”
Como E = tfrac26+3n2 deve ser inteiro, 26+3n tem que ser par, ou seja, 3n é par, o que força n par.
O menor n>=1 par é 2, não 1.
Portanto a afirmação 04 é falsa.

Passo 6

Para a afirmação 08: “Se a soma dos ângulos de todas as faces é 3600^circ, então n=6.”
Cada pentagonal tem soma (5-2)cdot180^circ=540^circ, cada quadrangular (4-2)cdot180^circ=360^circ e cada triangular 180^circ. Assim
soma total =2cdot540^circ + 4cdot360^circ + ncdot180^circ =1080^circ + 1440^circ + 180^circ n =2520^circ + 180^circ n
Igualando a 3600^circ
2520 + 180n = 3600 ;Longrightarrow; 180n = 1080 ;Longrightarrow; n = 6
Logo a afirmação 08 é correta.

Passo 7

Para a afirmação 16: “Se E=25, então n=8.”
Da relação 2E = 26 + 3n, temos
2cdot25 = 26 + 3n ;Longrightarrow; 50 = 26 + 3n ;Longrightarrow; 3n = 24 ;Longrightarrow; n = 8
Logo a afirmação 16 é correta.

Resposta

01, 02, 08 e 16.

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