(U.E. Ponta Grossa-PR) Dado que um poliedro convexo tem 2 faces pentagonais, 4 faces quadrangulares e
faces triangulares, assinale o que for correto.
- Se o número de vértices do poliedro é 11, então
.
- Se o número de faces do poliedro é 16, então
.
- O menor valor possível para n é 1.
- Se a soma dos ângulos de todas as faces do poliedro é
, então
.
- Se o número de arestas do poliedro é 25 , então
.
Passo 1
O enunciado dá um poliedro convexo com
-
faces pentagonais, -
faces quadrangulares, -
faces triangulares.
Usaremos as fórmulas de Euler
e a relação entre arestas e faces
Passo 2
O número total de faces é
Como as pentagonais têm 5 lados, as quadrangulares 4 e as triangulares 3, vale
logo
Passo 3
Para a afirmação 01: “Se
, então
.”
Pela fórmula de Euler,
Pela fórmula de Euler,
e substituindo
, temos
Logo a afirmação 01 é correta.
Passo 4
Para a afirmação 02: “Se
, então
.”
Como , basta resolver
Como
Logo a afirmação 02 é correta.
Passo 5
Para a afirmação 04: “O menor valor possível para
é 1.”
Como deve ser inteiro,
tem que ser par, ou seja,
é par, o que força
par.
O menor par é
, não
.
Portanto a afirmação 04 é falsa.
Como
O menor
Portanto a afirmação 04 é falsa.
Passo 6
Para a afirmação 08: “Se a soma dos ângulos de todas as faces é
, então
.”
Cada pentagonal tem soma , cada quadrangular
e cada triangular
. Assim
Cada pentagonal tem soma
Igualando a
dá
Logo a afirmação 08 é correta.
Passo 7
Para a afirmação 16: “Se
, então
.”
Da relação , temos
Da relação
Logo a afirmação 16 é correta.
Resposta
01, 02, 08 e 16.