Considere Q(x, y) como a proposição " x+y=x-y ". Se o domínio das duas variáveis forem todos os números inteiros, quais são os valores-verdade?
\forall x \forall y Q(x, y)

Passo 1

O enunciado define a proposição Q(x,y) como
Q(x,y)\colon x + y = x - y
com domínio de x e y sendo todos os números inteiros. A pergunta é determinar o valor-verdade da fórmula
\forall x\;\forall y\;Q(x,y).

Passo 2

Para saber quando Q(x,y) é verdadeira, resolvemos a equação
x + y = x - y.
Subtraindo x de ambos os lados, obtemos
y = -y
e somando y em ambos os lados,
2y = 0
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y = 0.
Portanto, Q(x,y) é verdadeira exatamente quando y=0, independentemente de x.

Passo 3

A quantificação \forall x\,\forall y\,Q(x,y) exige que Q(x,y) seja verdadeira para todo par (x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}. Mas já vimos que, se tomarmos por exemplo y=1 (ou qualquer inteiro não nulo), então
Q(x,1)\colon x+1 = x-1
é falsa, pois x+1\neq x-1.

Resposta

A fórmula \forall x\,\forall y\,Q(x,y) é falsa.

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