(UF-PR) Considere o seguinte sistema linear:
lx+y+w=1 x-y+2 w=0 y+z+w=1 y-z+2 w=0
A respeito desse sistema, é correto afirmar:
a) O sistema possui uma única solução.
b) O sistema não tem solução.
c) O sistema possui exatamente quatro soluções.
d) O sistema possui exatamente duas soluções.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas x,y,z,w. O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação e substituição, buscando verificar se há solução única, nenhuma ou infinitas.

Passo 2

Das duas primeiras equações
;x+y+w=1 e ;x-y+2w=0,
podemos isolar x na primeira:
x = 1 - y - w
Substituindo em x - y + 2w = 0
(1 - y - w) - y + 2w = 0 ;Longrightarrow; 1 - 2y + w = 0 ;Longrightarrow; w = 2y - 1
e então
x = 1 - y - (2y-1) = 2 - 3y

Passo 3

Na terceira equação y+z+w=1, usando w = 2y-1, obtemos
z = 1 - y - w = 1 - y - (2y-1) = 2 - 3y
Agora na quarta equação y - z + 2w = 0, substituindo z e w:
y - (2-3y) + 2(2y-1) = 0 ;Longrightarrow; y - 2 + 3y + 4y - 2 = 0 ;Longrightarrow; 8y - 4 = 0 ;Longrightarrow; y = tfrac12

Passo 4

Substituindo y=tfrac12 em
x = 2 - 3y, w = 2y-1, z = 2 - 3y
resulta
x = 2 - 3cdottfrac12 = tfrac12, w = 2cdottfrac12 -1 = 0, z = 2 - 3cdottfrac12 = tfrac12

Passo 5

Como determinamos valores únicos para x,y,z,w, o sistema possui exatamente uma solução.

Resposta

a) O sistema possui uma única solução.

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