(PUC-RS) O primeiro termo de uma progressão geométrica infinita é 3, e sua soma é 3,3333 ldots. A razão dessa progressão é:
a) -3
b) -13
c) 13
d) -110
e) 110

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão geométrica infinita com primeiro termo a1 = 3 e soma igual a 3,3333ldots. O que precisamos é encontrar a razão r dessa PG, sabendo que para lvert rrvert<1 a soma é dada por
S = a11 - r

Passo 2

Como a soma informada é 3,3333ldots, primeiro vamos converter esse decimal periódico em fração. Seja
x = 3,3333ldots
Multiplicando por 3:
10x = 33,3333ldots
e subtraindo x:
10x - x = 33,3333ldots - 3,3333ldots Longrightarrow 9x = 30 Longrightarrow x = 309 = 103
Logo, 3,3333ldots = tfrac103.

Passo 3

Usamos agora a fórmula da soma infinita:
S = a11 - r Longrightarrow 103 = 31 - r
Multiplicando ambos os lados por 1 - r e simplificando:
103(1 - r) = 3 Longrightarrow 10(1 - r) = 9 Longrightarrow 10 - 10r = 9

Passo 4

Isolando r:
10 - 9 = 10r Longrightarrow 1 = 10r Longrightarrow r = 110
Verificamos que lvert rrvert = 0,1 < 1, então a fórmula é válida.

Resposta

(e) 110

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