Considere a sequência cujo n-ésimo termo a_{n} seja dado pela fórmula indicada.
(a) Escreva a sequência usando a notação de três pontinhos, explicitando os quatro primeiros termos.
(b) Obtenha uma definição recursiva para a sequência específica.
a_{n}=5 \cdot 3^{-n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
a_{n}=5\cdot 3^{-n},
e pede em (a) que a gente escreva os quatro primeiros termos usando “ \dots”, e em (b) que a gente descreva a mesma sequência de forma recursiva.

Passo 2

Para achar os quatro primeiros termos, basta substituir n=1,2,3,4 em \,a_{n}=5\cdot3^{-n}:
a_{1}=5\cdot3^{-1}=\frac{5}{3},\quad a_{2}=5\cdot3^{-2}=\frac{5}{9},\quad a_{3}=5\cdot3^{-3}=\frac{5}{27},\quad a_{4}=5\cdot3^{-4}=\frac{5}{81}.

Passo 3

Com esses valores, a sequência fica
\left(\frac{5}{3},\;\frac{5}{9},\;\frac{5}{27},\;\frac{5}{81},\;\dots\right).

Passo 4

Observando a razão entre termos consecutivos, temos
\frac{a_{n}}{a_{n-1}} =\frac{5\cdot3^{-n}}{5\cdot3^{-(n-1)}} =3^{-1}=\frac{1}{3},
ou seja, é uma sequência geométrica de razão r=\tfrac13.

Passo 5

Logo, a definição recursiva é:
– termo inicial
a_{1}=\frac{5}{3},
– para n\ge2,
a_{n}=\frac{1}{3}\,a_{n-1}.

Resposta

(a) \displaystyle\left(\frac{5}{3},\;\frac{5}{9},\;\frac{5}{27},\;\frac{5}{81},\;\dots\right).
(b) \begin{cases} a_{1}=\displaystyle\frac{5}{3},\\\ a_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}\,a_{n-1},\quad n\ge2. \end{cases}

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