É dada uma fórmula para o n-ésimo termo de uma sequência a_{1}, a_{2}, \ldots.
(a) Escreva a sequência usando a notação de três pontinhos, explicitando os primeiros quatro termos.
(b) Calcule o 100^{\circ} termo da sequência.
a_{n}=1-\frac{1}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do n-ésimo termo de uma sequência numérica:
a_{n} = 1 - \frac{1}{3^{n}}
Pede (a) escrever a sequência usando notação de três pontinhos, mostrando os quatro primeiros termos, e (b) calcular o centésimo termo a_{100}. Vamos resolver por substituição direta na fórmula.

Passo 2

Para obter os primeiros quatro termos, substituímos n=1,2,3,4 em a_{n}=1-\frac{1}{3^{n}}:
a_{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3},\quad a_{2} = 1 - \frac{1}{3^{2}} = \frac{8}{9},\quad a_{3} = 1 - \frac{1}{3^{3}} = \frac{26}{27},\quad a_{4} = 1 - \frac{1}{3^{4}} = \frac{80}{81}.

Passo 3

Agora escrevemos a sequência com três pontinhos:
\frac{2}{3},\; \frac{8}{9},\; \frac{26}{27},\; \frac{80}{81},\; \ldots

Passo 4

Para encontrar o centésimo termo, basta substituir n=100:
a_{100} = 1 - \frac{1}{3^{100}}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{2}{3}, \frac{8}{9}, \frac{26}{27}, \frac{80}{81}, \ldots
(b) \displaystyle a_{100} = 1 - \frac{1}{3^{100}}

Exercícios de Livros Relacionados