Suponha que, no começo do primeiro dia de um ano novo, você tenha 3324 mensagens de correio eletrônico salvas em seu computador. No final de cada dia, você salva apenas 12 de suas mensagens novas mais importantes juntamente com as mensagens previamente salvas. Considere a sequência cujo n-ésimo termo seja o número de mensagens de correio eletrônico que tem salvas em seu computador no começo do n-ésimo dia do ano.
18 Qual é o 250^{\circ} termo dessa sequência? Em outras palavras, quantas mensagens de correio eletrônico você terá salvas em seu computador no começo do 250^{\circ} dia do ano?

Passo 1

Resumindo o enunciado: no começo do primeiro dia você tem 3324 mensagens salvas. Ao final de cada dia você acrescenta mais 12 mensagens novas às que já estavam salvas. O enunciado pede o número de mensagens salvas no começo do n-ésimo dia, o que caracteriza uma progressão aritmética de primeiro termo a_1=3324 e razão d=12.

Passo 2

Em toda progressão aritmética vale a relação de recorrência
a_{n+1} = a_n + d.
Aqui temos d=12, logo
a_{n+1} = a_n + 12,
com a_1=3324.

Passo 3

A fórmula geral de uma progressão aritmética é
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Substituindo a_1=3324 e d=12, obtemos
a_n = 3324 + 12\,(n-1).

Passo 4

Para achar o termo de ordem 250, basta substituir n=250 na fórmula:
a_{250} = 3324 + 12\,(250-1) = 3324 + 12\cdot249 = 3324 + 2988 = 6312.

Resposta

Você terá 6312 mensagens salvas no começo do 250º dia do ano.

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