Considere a sequência decrescente:
2^n, 2^n-1, ldots, 2^n-5 (em que n é um número natural)
Sabendo que a mediana dos elementos dessa sequência é 6, determine:
a) o valor de n;
b) a média aritmética dos elementos dessa sequência.

Passo 1

O enunciado dá a sequência decrescente de potências de 2:
2^n,;2^n-1,;2^n-2,;2^n-3,;2^n-4,;2^n-5
Temos 6 termos, e sabemos que a mediana dessa sequência é 6. Vamos usar o conceito de mediana para uma amostra com número par de elementos e depois calcular a média aritmética.

Passo 2

Como há 6 termos, a mediana é a média dos 3.º e 4.º valores quando ordenados. Aqui eles já estão em ordem decrescente, então esses termos são 2^n-2 (3.º) e 2^n-3 (4.º). Logo,
mediana = 2^n-2 + 2^n-32 = 6

Passo 3

Para resolver
2^n-2 + 2^n-32 = 6
fatoramos 2^n-3:
2^n-3(2 + 1)2 = 6 Longrightarrow 3cdot2^n-32 = 6 Longrightarrow 2^n-3 = 4 = 2^2
Daí n-3 = 2 e
n = 5

Passo 4

Com n = 5, a sequência fica
2^5,,2^4,,2^3,,2^2,,2^1,,2^0 Longrightarrow 32,;16,;8,;4,;2,;1
Para achar a média aritmética, somamos todos os termos e dividimos por 6.

Passo 5

A soma dos termos é
32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63,
portanto a média aritmética é
636 = 10,5

Resposta

(a) n = 5
(b) A média aritmética é 10,5.

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