Considere a seqüência de números racionais definida por recorrência da seguinte maneira:
a1=2 e an+1=12(an+2an)(n >= 1)
Mostrar que ( an ) é decrescente (estritamente, ou seja, a1>a2>a3>ldots ) e que an>1, para todo n >= 1.

Passo 1

O enunciado define uma sequência de números racionais (an) por
a1=2, an+1 = 12l(an + 2anr) (n>=1),
e pede para mostrar que (an) é estritamente decrescente e que an>1 para todo n. Vamos usar indução para obter um limite inferior mais forte ( raiz2) e depois comparar termos vizinhos para a monotonicidade.

Passo 2

Prova por indução de que
an>raiz2 para todo n>=1
Base ( n=1): a1=2>raiz2.
Passo indutivo: suponha ak>raiz2. Então, pela desigualdade entre média aritmética e geométrica,
ak+1 = 12l(ak + 2akr) >= raiz,akcdot2ak, = raiz2
Além disso a desigualdade é estrita porque akneq 2/ak (pois isso daria ak^2=2, contradizendo ak>raiz2). Logo ak+1>raiz2. Concluímos por indução que
an>raiz2forall n>=1
Em particular, disso segue imediatamente an>1 para todo n.

Passo 3

Cálculo de an+1-an para verificar decrescimento.
an+1-an = 12l(an + 2anr) - an = 12l(2an - anr) = 2 - an^22,an
Como já sabemos an>raiz2, temos an^2>2 e portanto 2 - an^2<0. Além disso an>0, então
an+1-an = 2 - an^22,an <0,
o que mostra que (an) é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência (an) satisfaz
  1. an>raiz2>1 para todo n,
  2. an+1<an para todo n,
    logo é estritamente decrescente e permanece sempre acima de 1.

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