Considere a seqüência de números racionais definida por recorrência da seguinte maneira:
Mostrar que (
) é decrescente (estritamente, ou seja,
) e que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado define uma sequência de números racionais
por
e pede para mostrar que
é estritamente decrescente e que
para todo
. Vamos usar indução para obter um limite inferior mais forte (
) e depois comparar termos vizinhos para a monotonicidade.
Passo 2
Prova por indução de que
Base (
):
.
Passo indutivo: suponha . Então, pela desigualdade entre média aritmética e geométrica,
Passo indutivo: suponha
Além disso a desigualdade é estrita porque
(pois isso daria
, contradizendo
). Logo
. Concluímos por indução que
Em particular, disso segue imediatamente
para todo
.
Passo 3
Cálculo de
para verificar decrescimento.
Como já sabemos
, temos
e portanto
. Além disso
, então
o que mostra que
é estritamente decrescente.
Resposta
A sequência
satisfaz
-
para todo , -
para todo ,
logo é estritamente decrescente e permanece sempre acima de.