S:
Represente graficamente o conjunto A=(x, y) in R^2 mid(x, y) satisfaz S.
Passo 1
O enunciado pede a representação gráfica do conjunto
A = (x,y)inR^2 mid x - y >= 0,; x + y <= 1,; y >= -2
Isso envolve três retas no plano e suas regiões associadas. Precisamos desenhar cada reta, identificar de que lado fica a solução de cada inequação e, por fim, obter a interseção dessas três regiões.
Passo 2
Desenhamos a reta dada por
x - y = 0 Long<=ftrightarrow y = x
e sombreia-mos o lado que satisfaz ,x - y >= 0. Como x - y>=0 é equivalente a y<= x, a região viável é tudo que fica por baixo (ou sobre) a reta y=x.
Passo 3
Em seguida, desenhamos a reta
x + y = 1 Long<=ftrightarrow y = -x + 1
e sombreia-mos o lado que satisfaz ,x + y <= 1. Isso significa y<= -x+1, ou seja, a região por baixo (ou sobre) da reta y=-x+1.
Passo 4
Agora a reta
y = -2
e queremos y>= -2, então sombreia-mos a região acima (ou sobre) dessa reta horizontal.
Passo 5
A solução A é a interseção das três regiões sombreadas. As três retas intersectam-se em três pontos: 1. y=x com y=-2 dá x=-2, ponto (-2,-2). 2. y=-x+1 com y=-2 dá x=3, ponto (3,-2). 3. y=x com y=-x+1 dá x=y e 2x=1, ponto l(tfrac12,tfrac12r).
Esses três vértices formam um triângulo. A região de A é esse triângulo fechado, incluindo as arestas.
Resposta
O conjunto A é o triângulo convexo de vértices
(-2,-2), (3,-2), l(tfrac12,tfrac12r),
incluindo as fronteiras, obtido pela interseção das meias-planícies y<= x, y<= -x+1 e y>= -2.
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 7: Geometria analítica - 6ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 227