Sejam M(-5,2), N(-2,5) e P(0,0) pontos do plano cartesiano. Calcule o comprimento da bissetriz do ângulo P do triângulo MNP .

Passo 1

O enunciado dá o triângulo MNP com M(-5,2), N(-2,5) e P(0,0), e pede o comprimento da bissetriz interna do ângulo em P. Para isso, vamos calcular as distâncias |PM|, |PN| e |MN| e usar a fórmula do comprimento da bissetriz em função dos lados.

Passo 2

Calcular |PM| e |PN| pelo teorema de Pitágoras:
|PM| = raiz(-5-0)^2 + (2-0)^2 = raiz25 + 4 = raiz29,
|PN| = raiz(-2-0)^2 + (5-0)^2 = raiz4 + 25 = raiz29

Passo 3

Calcular |MN| também pelo teorema de Pitágoras:
|MN| = raiz(-5 - (-2))^2 + (2 - 5)^2 = raiz(-3)^2 + (-3)^2 = raiz18 = 3raiz2

Passo 4

Relembrar a fórmula do comprimento da bissetriz interna lp do ângulo em P, oposta ao lado a, em função dos lados b e c:
lp = raiz,b,cl[1 - a^2(b + c)^2r],
onde b = |PN|, c = |PM| e a = |MN|.

Passo 5

Substituir b = raiz29, c = raiz29 e a = 3raiz2:
lp = raizraiz29,raiz29l[1 - (3raiz2)^2(raiz29 + raiz29)^2r] = raiz29l[1 - 18(2raiz29)^2r] = raiz29l[1 - 184cdot29r] = raiz29cdot98116 = raiz492

Passo 6

Simplificar
raiz492 = 7raiz2 = 7raiz22

Resposta

7raiz22

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