Considere que as soluções das equações de Legendre, Chebyshev, Hermite e Laguerre são polinômios. Mostre que os intervalos de integração que garantem que as condições de contorno do operador hermitiano serão satisfeitas são
(a) Legendre [-1,1],

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, no caso da equação de Legendre, qual é o intervalo de integração em que o operador diferencial associado se torna hermitiano. Aqui vamos usar o formalismo de problemas de Sturm–Liouville e a condição geral de autocontato dos operadores auto-adjuntos.

Passo 2

Em um problema de Sturm–Liouville genérico escrevemos a equação como
\bigl(p(x)\,y'(x)\bigr)'+\bigl[\lambda\,w(x)-q(x)\bigr]y(x)=0
com produto interno
\langle u,v\rangle=\int_{a}^{b}u^*(x)\,v(x)\,w(x)\,\mathrm{d}x.
O operador \mathcal L[y]=-(p\,y')'+q\,y é hermitiano se, para quaisquer funções u,v no domínio,
\int_{a}^{b}u^*\,\mathcal L[v]\,w\,\mathrm{d}x =\int_{a}^{b}\bigl(\mathcal L[u]\bigr)^*\,v\,w\,\mathrm{d}x,
o que leva à condição de contorno
\bigl[p(x)\bigl(u^*\,v'-u^{*\prime}\,v\bigr)\bigr]_{x=a}^{x=b}=0.

Passo 3

Na equação de Legendre reconhecemos os coeficientes
p(x)=1-x^2, \quad w(x)=1, \quad q(x)=0,
e o domínio [a,b] a determinar. A condição de contorno torna-se
\bigl[(1-x^2)\bigl(u^*\,v'-u^{*\prime}\,v\bigr)\bigr]_{x=a}^{x=b}=0.

Passo 4

Para que esse termo de contorno seja nulo sem impor condições adicionais às funções u,v, basta que p(x)=1-x^2 se anule nas extremidades do intervalo. Como 1-x^2=0 exatamente em x=\pm1, ao escolher
a=-1,\quad b=1
temos automaticamente
(1-x^2)\bigl(u^*\,v'-u^{*\prime}\,v\bigr)\big|_{x=\pm1}=0
para quaisquer u,v regulares, garantindo a hermiticidade do operador.

Resposta

O intervalo de integração para a equação de Legendre que satisfaz as condições de contorno do operador hermitiano é [-1,1].

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