Considere que as soluções das equações de Legendre, Chebyshev, Hermite e Laguerre são polinômios. Mostre que os intervalos de integração que garantem que as condições de contorno do operador hermitiano serão satisfeitas são
(a) Legendre [-1,1],
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, no caso da equação de Legendre, qual é o intervalo de integração em que o operador diferencial associado se torna hermitiano. Aqui vamos usar o formalismo de problemas de Sturm–Liouville e a condição geral de autocontato dos operadores auto-adjuntos.
Passo 2
Em um problema de Sturm–Liouville genérico escrevemos a equação como
Para que esse termo de contorno seja nulo sem impor condições adicionais às funções u,v, basta que p(x)=1-x^2 se anule nas extremidades do intervalo. Como 1-x^2=0 exatamente em x=\pm1, ao escolher