Para o caso muito especial \lambda=0 e q(x)=0 a equação de autovalor adjunta se torna
\frac{d}{d x}\left[p(x) \frac{d u(x)}{d x}\right]=0
satisfeita por
\frac{d u}{d x}=\frac{1}{p(x)}
Use essa expressão para obter uma “segunda” solução para o seguinte:
(a) Equação de Legendre,
Nota: Em todos os três casos, u_{1}(x)=1.

Passo 1

O enunciado pede que, no caso especial \lambda=0 e q(x)=0, a equação auto-adjunta
\frac{d}{dx}\bigl[p(x)\,u'(x)\bigr]=0
é resolvida por
\frac{du}{dx}=\frac{1}{p(x)}.
Queremos usar isso para achar a segunda solução da equação de Legendre, sabendo que uma solução é u_{1}(x)=1.

Passo 2

Na equação de Legendre escrita em forma de Sturm–Liouville temos
p(x)=1-x^{2}, \quad q(x)=0,
logo a equação reduzida é
\frac{d}{dx}\bigl[(1-x^{2})\,u'(x)\bigr]=0
e portanto
\frac{du}{dx}=\frac{C}{1-x^{2}}.
Podemos escolher C=1 para obter uma solução independente da constante.

Passo 3

Integramos
\frac{du}{dx}=\frac{1}{1-x^{2}}
e obtemos
u_{2}(x) =\int\frac{dx}{1-x^{2}} =\frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{1+x}{1-x}\Bigr|+C'.
Desprezando a constante aditiva C', tomamos
u_{2}(x)=\frac{1}{2}\ln\!\Bigl(\frac{1+x}{1-x}\Bigr).

Resposta

A segunda solução para a equação de Legendre, além de u_{1}(x)=1, é
u_{2}(x)=\frac{1}{2}\ln\!\Bigl(\frac{1+x}{1-x}\Bigr).

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