Para o caso muito especial
e
a equação de autovalor adjunta se torna
satisfeita por
Use essa expressão para obter uma “segunda” solução para o seguinte:
(a) Equação de Legendre,
Nota: Em todos os três casos,
.
(a) Equação de Legendre,
Passo 1
O enunciado pede que, no caso especial
e
, a equação auto-adjunta
é resolvida por
Queremos usar isso para achar a segunda solução da equação de Legendre, sabendo que uma solução é
.
Passo 2
Na equação de Legendre escrita em forma de Sturm–Liouville temos
logo a equação reduzida é
e portanto
Podemos escolher
para obter uma solução independente da constante.
Passo 3
Integramos
e obtemos
Desprezando a constante aditiva
, tomamos
Resposta
A segunda solução para a equação de Legendre, além de
, é