Considere que as soluções das equações de Legendre, Chebyshev, Hermite e Laguerre são polinômios. Mostre que os intervalos de integração que garantem que as condições de contorno do operador hermitiano serão satisfeitas são
(b) Chebyshev [-1,1],

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, no caso dos polinômios de Chebyshev, o operador diferencial que define a equação de Chebyshev é hermitiano desde que escolhamos o intervalo de integração correto. Vamos usar a forma de Sturm–Liouville dessa equação, identificar o coeficiente p(x) que multiplica a derivada e impor que os termos de contorno
\bigl[p(x)\bigl(u^* v' - u'^* v\bigr)\bigr]_{x=a}^{x=b}
devem se anular para quaisquer funções u,v do domínio, garantindo a hermiticidade.

Passo 2

A equação de Chebyshev de primeira espécie é
(1 - x^2)y'' - x\,y' + n^2\,y = 0.
Podemos escrevê-la em forma de Sturm–Liouville
-\frac{d}{dx}\!\bigl[p(x)\,y'\bigr] + q(x)\,y = \lambda\,w(x)\,y,
onde, comparando, temos
p(x) = 1 - x^2,\quad q(x)=0,\quad \lambda = n^2,\quad w(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 3

Para que o operador
L[y] = -\frac{d}{dx}\!\bigl[p(x)\,y'\bigr]
seja hermitiano, os termos de contorno devem satisfazer
\bigl[p(x)\bigl(u^* v' - u'^* v\bigr)\bigr]_{x=a}^{x=b} = 0
para quaisquer u,v do domínio. Como u,v são, em geral, polinômios de Chebyshev não nulos nos extremos, a forma mais natural de anular esse termo é exigir
p(a) = 0 \quad\text{e}\quad p(b) = 0.

Passo 4

Resolvendo
p(x)=1 - x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 1.
Logo, o intervalo de integração que faz p(a)=p(-1)=0 e p(b)=p(1)=0 é
[a,b] = [-1,1].

Resposta

[-1,1]

Exercícios de Livros Relacionados