Considere que as soluções das equações de Legendre, Chebyshev, Hermite e Laguerre são polinômios. Mostre que os intervalos de integração que garantem que as condições de contorno do operador hermitiano serão satisfeitas são
(b) Chebyshev
,
(b) Chebyshev
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, no caso dos polinômios de Chebyshev, o operador diferencial que define a equação de Chebyshev é hermitiano desde que escolhamos o intervalo de integração correto. Vamos usar a forma de Sturm–Liouville dessa equação, identificar o coeficiente
que multiplica a derivada e impor que os termos de contorno
devem se anular para quaisquer funções
do domínio, garantindo a hermiticidade.
Passo 2
A equação de Chebyshev de primeira espécie é
Podemos escrevê-la em forma de Sturm–Liouville
onde, comparando, temos
Passo 3
Para que o operador
seja hermitiano, os termos de contorno devem satisfazer
para quaisquer
do domínio. Como
são, em geral, polinômios de Chebyshev não nulos nos extremos, a forma mais natural de anular esse termo é exigir
Passo 4
Resolvendo
Logo, o intervalo de integração que faz
e
é