10.1.16 O operador
é hermitiano. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador hermitiano
e pede para mostrar que a expectativa de
em qualquer estado
satisfaz
O conteúdo aqui é álgebra linear em mecânica quântica, e vamos usar propriedades de operadores hermitianos e do produto interno.
Passo 2
Como
é hermitiano, temos
Então o operador
também é hermitiano, pois
Passo 3
Para calcular a expectativa, note que
onde usamos a propriedade do adjunto no produto interno:
. Mas
é justamente o quadrado da norma do vetor
.
Passo 4
Como o produto interno de um vetor com ele mesmo é não-negativo,
Logo concluímos que