10.1.16 O operador \mathcal{L} é hermitiano. Mostre que \left\langle\mathcal{L}^{2}\right\rangle \geq 0.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador hermitiano \mathcal{L} e pede para mostrar que a expectativa de \mathcal{L}^2 em qualquer estado \lvert\psi\rangle satisfaz
\langle \mathcal{L}^2\rangle \;\ge\;0.
O conteúdo aqui é álgebra linear em mecânica quântica, e vamos usar propriedades de operadores hermitianos e do produto interno.

Passo 2

Como \mathcal{L} é hermitiano, temos
\mathcal{L}^\dagger = \mathcal{L}.
Então o operador \mathcal{L}^2 = \mathcal{L}\,\mathcal{L} também é hermitiano, pois
(\mathcal{L}^2)^\dagger = (\mathcal{L}\,\mathcal{L})^\dagger = \mathcal{L}^\dagger\,\mathcal{L}^\dagger = \mathcal{L}\,\mathcal{L} = \mathcal{L}^2.

Passo 3

Para calcular a expectativa, note que
\langle\mathcal{L}^2\rangle =\langle \psi \lvert \mathcal{L}^2 \rvert \psi \rangle =\langle \psi \lvert \mathcal{L}\,(\mathcal{L}\lvert\psi\rangle)\rangle =\langle \mathcal{L}\psi \mid \mathcal{L}\psi \rangle,
onde usamos a propriedade do adjunto no produto interno:
\langle \psi\lvert \mathcal{L} = \langle \mathcal{L}\psi\rvert. Mas \langle \mathcal{L}\psi\mid \mathcal{L}\psi\rangle é justamente o quadrado da norma do vetor \mathcal{L}\lvert\psi\rangle.

Passo 4

Como o produto interno de um vetor com ele mesmo é não-negativo,
\langle \mathcal{L}\psi \mid \mathcal{L}\psi \rangle =\|\mathcal{L}\lvert\psi\rangle\|^2 \;\ge\;0.
Logo concluímos que
\langle \mathcal{L}^2 \rangle \;\ge\;0.

Resposta

\langle \mathcal{L}^2\rangle \ge 0

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