10.1.13 U e V são dois operadores arbitrários, não necessariamente hermitianos. No sentido da Equação (10.27), mostre que
(U V)^{\dagger}=V^{\dagger} U^{\dagger}
Note a semelhança com matrizes hermitianas adjuntas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dados operadores arbitrários U e V (não necessariamente hermitianos), vale
(UV)^{\dagger}=V^{\dagger}U^{\dagger}.
O conteúdo é a definição de adjunto de um operador via produto interno. Vamos usar a relação (10.27): para todo par de vetores \lvert\varphi\rangle e \lvert\psi\rangle,
\langle\varphi\lvert A\lvert\psi\rangle = \langle A^{\dagger}\varphi\lvert\psi\rangle,
onde A é qualquer operador.

Passo 2

Sejam \lvert\varphi\rangle e \lvert\psi\rangle vetores arbitrários. Aplicando diretamente a definição de adjunto ao produto UV, obtemos
\langle\varphi\lvert (UV)\lvert\psi\rangle = \langle (UV)^{\dagger}\varphi\lvert\psi\rangle.

Passo 3

Vamos reescrever o lado esquerdo em duas etapas, usando primeiro o adjunto de U. Note que V\lvert\psi\rangle é um vetor qualquer, então
\langle\varphi\lvert U\bigl(V\lvert\psi\rangle\bigr) = \langle U^{\dagger}\varphi\lvert V\lvert\psi\rangle.
Portanto
\langle\varphi\lvert (UV)\lvert\psi\rangle = \langle U^{\dagger}\varphi\lvert V\lvert\psi\rangle.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de adjunto para V, tomando U^{\dagger}\lvert\varphi\rangle como vetor de partida:
\langle U^{\dagger}\varphi\lvert V\lvert\psi\rangle = \langle V^{\dagger}(U^{\dagger}\varphi)\lvert\psi\rangle = \langle V^{\dagger}U^{\dagger}\varphi\lvert\psi\rangle.
Logo, combinando com o resultado do passo anterior,
\langle\varphi\lvert (UV)\lvert\psi\rangle = \langle V^{\dagger}U^{\dagger}\varphi\lvert\psi\rangle.

Passo 5

Comparando
\langle\varphi\lvert (UV)\lvert\psi\rangle = \langle (UV)^{\dagger}\varphi\lvert\psi\rangle \quad\text{com}\quad \langle\varphi\lvert (UV)\lvert\psi\rangle = \langle V^{\dagger}U^{\dagger}\varphi\lvert\psi\rangle
e lembrando que isso vale para todos \lvert\varphi\rangle,\lvert\psi\rangle, concluímos pela unicidade do adjunto que
(UV)^{\dagger} = V^{\dagger}U^{\dagger}.

Resposta

(UV)^{\dagger} = V^{\dagger}U^{\dagger}.

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