10.1.13
e
são dois operadores arbitrários, não necessariamente hermitianos. No sentido da Equação (10.27), mostre que
Note a semelhança com matrizes hermitianas adjuntas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dados operadores arbitrários
e
(não necessariamente hermitianos), vale
O conteúdo é a definição de adjunto de um operador via produto interno. Vamos usar a relação (10.27): para todo par de vetores
e
,
onde
é qualquer operador.
Passo 2
Sejam
e
vetores arbitrários. Aplicando diretamente a definição de adjunto ao produto
, obtemos
Passo 3
Vamos reescrever o lado esquerdo em duas etapas, usando primeiro o adjunto de
. Note que
é um vetor qualquer, então
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos a definição de adjunto para
, tomando
como vetor de partida:
Logo, combinando com o resultado do passo anterior,
Passo 5
Comparando
e lembrando que isso vale para todos
, concluímos pela unicidade do adjunto que