10.1.22 Para uma partícula quântica em movimento em um poço de potencial,
, a equação de onda de Schrödinger é
ou
em que
. Uma vez que o operador é par, esperamos soluções de paridade definida. Para as condições iniciais a seguir, integre desde a origem e determine a constante mínima
que levará a
em cada caso. (Você pode considerar
uma aproximação do infinito.)
(a) Para uma autofunção par,
(b) Para uma autofunção ímpar,
Nota: Soluções analíticas aparecem na Seção 13.1.
(a) Para uma autofunção par,
Passo 1
O enunciado dá a equação de Schr"odinger para o oscilador harm’onico em variável adimensional
:
once definimos
. Como o potencial é par, procuramos soluções de paridade definida que satisfaçam as condições iniciais em
:
- Caso par:
. - Caso ímpar:
.
Queremos o menor valor deque garanta quando (aproximado por ).
Passo 2
Para
, o termo dominante na equação é
, de modo que as soluções em primeira aproximação são
Só a escolha
é física (normalizável). Para impor essa queda exponencial, escrevemos o ansatz
em que
deve ser um polinômio (caso contrário a exponencial de sinal errado prevalece).
Passo 3
Substituindo
na equação e desenvolvendo
em série de potências, obtém-se uma relação de recorrência para os coeficientes. Essa série só termina (dando polinômio de grau
) se
Cada valor
corresponde a um nível de energia
.
Passo 4
Para paridade par (polinomial de grau par) o menor
é
, logo
Para paridade ímpar (polinomial de grau ímpar) o menor
é
, logo
Resposta
(a)
(b)
(b)