10.1.22 Para uma partícula quântica em movimento em um poço de potencial, V(x)=\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}, a equação de onda de Schrödinger é
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}+\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \psi(x)=E \psi(x)
ou
\frac{d^{2} \psi(z)}{d z^{2}}-z^{2} \psi(z)=-\frac{2 E}{\hbar \omega} \psi(z)
em que z=(m \omega / \hbar)^{1 / 2} x. Uma vez que o operador é par, esperamos soluções de paridade definida. Para as condições iniciais a seguir, integre desde a origem e determine a constante mínima 2 E / \hbar \omega que levará a \psi(\infty)=0 em cada caso. (Você pode considerar z=6 uma aproximação do infinito.)
(a) Para uma autofunção par,
\psi(0)=1, \quad \psi^{\prime}(0)=0
(b) Para uma autofunção ímpar,
\psi(0)=0, \quad \psi^{\prime}(0)=1
Nota: Soluções analíticas aparecem na Seção 13.1.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Schr"odinger para o oscilador harm’onico em variável adimensional z:
\frac{d^{2}\psi(z)}{dz^{2}} - z^{2}\psi(z) = -\lambda\,\psi(z),
once definimos \lambda = \frac{2E}{\hbar\omega}. Como o potencial é par, procuramos soluções de paridade definida que satisfaçam as condições iniciais em z=0:
  • Caso par: \psi(0)=1,\;\psi'(0)=0.
  • Caso ímpar: \psi(0)=0,\;\psi'(0)=1.
    Queremos o menor valor de \lambda que garanta \psi(z)\to0 quando z\to\infty (aproximado por z=6).

Passo 2

Para z\gg1, o termo dominante na equação é -z^{2}\psi, de modo que as soluções em primeira aproximação são
\psi(z)\sim e^{\pm z^{2}/2}.
Só a escolha \psi(z)\sim e^{-z^{2}/2} é física (normalizável). Para impor essa queda exponencial, escrevemos o ansatz
\psi(z)=h(z)\,e^{-z^{2}/2},
em que h(z) deve ser um polinômio (caso contrário a exponencial de sinal errado prevalece).

Passo 3

Substituindo \psi(z)=h(z)e^{-z^{2}/2} na equação e desenvolvendo h(z) em série de potências, obtém-se uma relação de recorrência para os coeficientes. Essa série só termina (dando polinômio de grau n) se
\lambda = 2n + 1,\quad n=0,1,2,\dots
Cada valor n corresponde a um nível de energia E_{n}=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right).

Passo 4

Para paridade par (polinomial de grau par) o menor n é n=0, logo
\lambda = 2\cdot0 + 1 = 1.
Para paridade ímpar (polinomial de grau ímpar) o menor n é n=1, logo
\lambda = 2\cdot1 + 1 = 3.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{2E}{\hbar\omega}=1
(b) \displaystyle \frac{2E}{\hbar\omega}=3

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