10.1.8 Para um operador diferencial de segunda ordem
que é auto-adjunto mostre que
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
para um operador diferencial de segunda ordem
auto-adjunto.
Aqui usamos que um operador auto-adjunto pode ser escrito como
Aqui usamos que um operador auto-adjunto pode ser escrito como
Vamos expandir o integrando, reconhecer uma derivada total e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Escrevemos explicitamente o integrando usando a forma de
:
Repare que os termos com
se cancelam:
Portanto sobra
Passo 3
Agora mostramos que esse resto é exatamente uma derivada total. Usando a regra do produto,
Agrupando e reorganizando, tudo se reduz a
Logo de fato
Passo 4
Integramos de
até
ambos os lados:
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo a integral da derivada total é o valor da função nos limites: