10.1.8 Para um operador diferencial de segunda ordem \mathcal{L} que é auto-adjunto mostre que
\int_{a}^{b}\left[y_{2} \mathcal{L} y_{1}-y_{1} \mathcal{L} y_{2}\right] d x=\left.p\left(y_{1}^{\prime} y_{2}-y_{1} y_{2}^{\prime}\right)\right|_{a} ^{b}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\int_{a}^{b}\bigl[y_{2}\,\mathcal{L}y_{1}-y_{1}\,\mathcal{L}y_{2}\bigr]\,dx =\left.p\bigl(y_{1}'y_{2}-y_{1}y_{2}'\bigr)\right|_{a}^{b}
para um operador diferencial de segunda ordem \mathcal{L} auto-adjunto.
Aqui usamos que um operador auto-adjunto pode ser escrito como
\mathcal{L}y=(p(x)\,y')' + q(x)\,y.
Vamos expandir o integrando, reconhecer uma derivada total e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Escrevemos explicitamente o integrando usando a forma de \mathcal{L}:
y_{2}\,\mathcal{L}y_{1}-y_{1}\,\mathcal{L}y_{2} = y_{2}\bigl(p\,y_{1}'\bigr)' + y_{2}\,q\,y_{1} -y_{1}\bigl(p\,y_{2}'\bigr)' - y_{1}\,q\,y_{2}.
Repare que os termos com q\,y_{1}y_{2} se cancelam:
y_{2}\,q\,y_{1}-y_{1}\,q\,y_{2}=0.
Portanto sobra
y_{2}\bigl(p\,y_{1}'\bigr)' - y_{1}\bigl(p\,y_{2}'\bigr)'.

Passo 3

Agora mostramos que esse resto é exatamente uma derivada total. Usando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl[p(x)\bigl(y_{1}'y_{2}-y_{1}y_{2}'\bigr)\bigr] = p\,(y_{1}''y_{2}+y_{1}'y_{2}') + p'\,(y_{1}'y_{2}-y_{1}y_{2}') -\bigl[p\,(y_{2}''y_{1}+y_{2}'y_{1}')+p'\,(y_{2}'y_{1}-y_{2}y_{1}')\bigr].
Agrupando e reorganizando, tudo se reduz a
y_{2}\bigl(p\,y_{1}'\bigr)' - y_{1}\bigl(p\,y_{2}'\bigr)'.
Logo de fato
y_{2}\,\mathcal{L}y_{1}-y_{1}\,\mathcal{L}y_{2} =\frac{d}{dx}\bigl[p\,(y_{1}'y_{2}-y_{1}y_{2}')\bigr].

Passo 4

Integramos de a até b ambos os lados:
\int_{a}^{b}\bigl(y_{2}\,\mathcal{L}y_{1}-y_{1}\,\mathcal{L}y_{2}\bigr)\,dx =\int_{a}^{b}\frac{d}{dx}\bigl[p\,(y_{1}'y_{2}-y_{1}y_{2}')\bigr]\,dx.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo a integral da derivada total é o valor da função nos limites:
\int_{a}^{b}\frac{d}{dx}\bigl[p\,(y_{1}'y_{2}-y_{1}y_{2}')\bigr]\,dx =\left.p\,(y_{1}'y_{2}-y_{1}y_{2}')\right|_{a}^{b}.

Resposta

\int_{a}^{b}\bigl[y_{2}\,\mathcal{L}y_{1}-y_{1}\,\mathcal{L}y_{2}\bigr]\,dx =\left.p\,\bigl(y_{1}'y_{2}-y_{1}y_{2}'\bigr)\right|_{a}^{b}.

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