(UE-CE) Considere um terreno que tenha a forma de um paralelogramo. Sabendo-se que as coordenadas de três vértices desse paralelogramo são A(2,3), B(8,9) e C(6,5), é correto afirmar que o quarto vértice é um dos pontos de coordenadas:
a) (12,11),(4,7) e (0,1)
b) (12,10),(4,7) e (0,-1)
c) (12,10),(3,7) e (0,-1)
d) (12,11),(4,7) e (0,-1)
e) (12,10),(3,7) e (0,1)

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas de três vértices de um paralelogramo: A(2,3), B(8,9) e C(6,5). Queremos achar o quarto vértice D. Vamos usar geometria analítica e a ideia vetorial de que, num paralelogramo, a soma dos vetores de vértices opostos coincide, o que leva a fórmulas do tipo
OA + OC = OB + OD

Passo 2

Supondo que A e C sejam vértices opostos, temos
OA + OC = OB + OD
Isolando OD, vem
OD = OA + OC - OB
Em coordenadas,
D1 = (2,3) + (6,5) - (8,9) = (8,8) - (8,9) = (0,-1)

Passo 3

Supondo que A e B sejam opostos, a relação vira
OA + OB = OC + OD,
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OD = OA + OB - OC,
e em coordenadas
D2 = (2,3) + (8,9) - (6,5) = (10,12) - (6,5) = (4,7)

Passo 4

Finalmente, se B e C forem opostos, vale
OB + OC = OA + OD,
de onde
OD = OB + OC - OA,
e
D3 = (8,9) + (6,5) - (2,3) = (14,14) - (2,3) = (12,11)

Passo 5

Os três possíveis vértices são
(0,-1), (4,7)e(12,11)
Entre as alternativas dadas, só a letra (d) apresenta exatamente esses três pontos.

Resposta

(d)

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