(PUC-RJ) Considere o triângulo de vértices (0,0),(3,0) e (0,7). Alguns pontos de coordenadas inteiras estão nos lados do triângulo como, por exemplo, (2, 0); alguns estão no interior como, por exemplo, o ponto (1,1). Quantos pontos de coordenadas inteiras estão no interior do triângulo?
a) 6
b) 7
c) 10
d) 12

Passo 1

O enunciado pede o número de pontos de coordenadas inteiras no interior do triângulo de vértices (0,0), (3,0) e (0,7). O conteúdo aqui é Polígonos de Pick: vamos precisar da área do triângulo e do número de pontos de grade na sua fronteira para aplicar a fórmula de Pick.

Passo 2

Calcular a área A do triângulo usando a fórmula da base vezes altura sobre 2. Tomando a base em (0,0) (3,0) de comprimento 3 e a altura 7 (distância de (0,7) à reta y=0), temos
A = basetimesa<ura2 = 3times72 = 10,5

Passo 3

Contar os pontos de coordenadas inteiras na fronteira ( B) do triângulo, somando os pontos em cada aresta, lembrando que cada aresta de extremidades (x1,y1) e (x2,y2) tem
gcdl(|x2 - x1|,;|y2 - y1|r) + 1
pontos de grade.
Aresta de (0,0) a (3,0):
gcd(3,0) + 1 = 3 + 1 = 4 pontos: (0,0),(1,0),(2,0),(3,0)
Aresta de (0,0) a (0,7):
gcd(0,7) + 1 = 7 + 1 = 8 pontos: (0,0),(0,1),dots,(0,7)
Aresta de (3,0) a (0,7):
gcd(3,7) + 1 = 1 + 1 = 2 pontos: (3,0),(0,7)

Passo 4

Somar os pontos de cada aresta e subtrair as 3 vértices contadas duas vezes:
B = (4 + 8 + 2) - 3 = 11

Passo 5

Aplicar o Teorema de Pick
A = I + B2 - 1,
onde I é o número de pontos de grade no interior. Então
10,5 = I + 112 - 1 Longrightarrow I = 10,5 - 5,5 + 1 = 6

Resposta

6 (alternativa a)

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