(PUC-RJ) Considere o triângulo de vértices
e
. Alguns pontos de coordenadas inteiras estão nos lados do triângulo como, por exemplo, (2, 0); alguns estão no interior como, por exemplo, o ponto
. Quantos pontos de coordenadas inteiras estão no interior do triângulo?
a) 6
b) 7
c) 10
d) 12
a) 6
b) 7
c) 10
d) 12
Passo 1
O enunciado pede o número de pontos de coordenadas inteiras no interior do triângulo de vértices
,
e
. O conteúdo aqui é Polígonos de Pick: vamos precisar da área do triângulo e do número de pontos de grade na sua fronteira para aplicar a fórmula de Pick.
Passo 2
Calcular a área
do triângulo usando a fórmula da base vezes altura sobre
. Tomando a base em
–
de comprimento
e a altura
(distância de
à reta
), temos
Passo 3
Contar os pontos de coordenadas inteiras na fronteira (
) do triângulo, somando os pontos em cada aresta, lembrando que cada aresta de extremidades
e
tem
pontos de grade.
Aresta de
a
:
Aresta de
a
:
Aresta de
a
:
Passo 4
Somar os pontos de cada aresta e subtrair as
vértices contadas duas vezes:
Passo 5
Aplicar o Teorema de Pick
onde
é o número de pontos de grade no interior. Então