(UF-BA) Considerem-se em um sistema de coordenadas cartesianas - tendo o metro como unidade de medida para os eixos e - duas partículas e .
Sabendo que, no instante , a partícula parte da origem, na direção positiva do eixo , com velocidade constante de , e a partícula parte do ponto em direção à origem dos eixos com velocidade constante de , escreva uma equação da reta que passa pelos pontos que determinam a posição das duas partículas no instante em que o quadrado da distância entre elas é mínimo.

Passo 1

O enunciado descreve duas partículas em movimento retilíneo uniforme em um plano cartesiano. A partícula P1 parte de (0,0) subindo no eixo y com velocidade 2,m/s, e a partícula P2 parte de (10,0) indo em linha reta para a origem com velocidade 1,m/s. Queremos achar a reta que passa pelas posições de P1 e P2 no instante em que o quadrado da distância entre elas é mínimo. Para isso, vamos:
1. determinar as equações paramétricas de posição,
2. montar a função do quadrado da distância D^2(t),
3. minimizar essa função (usando vértice de parábola),
4. calcular as coordenadas naquele instante,
5. obter a equação da reta que passa por esses dois pontos.

Passo 2

Chamando de t o tempo em segundos, as posições de cada partícula são:
P1(t) = l(0,;2tr),
P2(t) = l(10 - t,;0r)

Passo 3

O quadrado da distância entre P1(t) e P2(t) é
D^2(t) = l(0 - (10 - t)r)^2 + l(2t - 0r)^2 = (t - 10)^2 + (2t)^2
Desenvolvendo,
D^2(t) = t^2 -20t +100 +4t^2 = 5t^2 -20t +100
Como é uma parábola com coeficiente a=5>0, o mínimo ocorre em
t0 = --202cdot5 = 2010 = 2 s

Passo 4

No instante t0 = 2,s as posições são
P1(2) = (0,,4), P2(2) = (8,,0)

Passo 5

A reta que passa por (0,4) e (8,0) tem coeficiente angular
m = 0 - 48 - 0 = -tfrac12
e, usando a forma ponto-inclinação,
y - 4 = -tfrac12,(x - 0),
isto é,
y = -tfrac12,x + 4

Resposta

A equação da reta é
y = -12x + 4

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