(UF-BA) Considerem-se em um sistema de coordenadas cartesianas - tendo o metro como unidade de medida para os eixos
e
- duas partículas
e
.
Sabendo que, no instante
, a partícula
parte da origem, na direção positiva do eixo , com velocidade constante de
, e a partícula
parte do ponto
em direção à origem dos eixos com velocidade constante de
, escreva uma equação da reta que passa pelos pontos que determinam a posição das duas partículas no instante em que o quadrado da distância entre elas é mínimo.
Sabendo que, no instante
Passo 1
O enunciado descreve duas partículas em movimento retilíneo uniforme em um plano cartesiano. A partícula
parte de
subindo no eixo
com velocidade
,m/s, e a partícula
parte de
indo em linha reta para a origem com velocidade
,m/s. Queremos achar a reta que passa pelas posições de
e
no instante em que o quadrado da distância entre elas é mínimo. Para isso, vamos:
. determinar as equações paramétricas de posição,
. montar a função do quadrado da distância
,
. minimizar essa função (usando vértice de parábola),
. calcular as coordenadas naquele instante,
. obter a equação da reta que passa por esses dois pontos.
Passo 2
Chamando de
o tempo em segundos, as posições de cada partícula são:
Passo 3
O quadrado da distância entre
e
é
Desenvolvendo,
Como é uma parábola com coeficiente
, o mínimo ocorre em
Passo 4
No instante
,s as posições são
Passo 5
A reta que passa por
e
tem coeficiente angular
e, usando a forma ponto-inclinação,
isto é,
Resposta
A equação da reta é