Consideremos
elementos distintos. Destaquemos
dentre eles. Quantos arranjos simples daqueles
elementos, tomados
a
, podemos formar, de modo que em cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer ordem de colocação,
dos
elementos destacados?
Passo 1
O enunciado pede o número de arranjos simples de
elementos tomados
a
de modo que sempre apareça, como bloco contíguo, exatamente
dos
elementos destacados. O conteúdo é contagem de arranjos com restrição de bloco.
Passo 2
Primeiro escolhemos quais
dos
destacados formarão o bloco e a ordem interna desse bloco. Isso pode ser feito de
maneiras para escolher o subconjunto e, para cada escolha,
maneiras de permutá-los dentro do bloco.
Passo 3
Em seguida temos de preencher as outras
posições com elementos que não estão nesse bloco. Restam
elementos, dos quais escolhemos
sem ordem em
maneiras.
Passo 4
Agora tratamos o bloco como um único “super-elemento”. No total teremos
elementos simples mais 1 bloco, ou seja
objetos a ordenar. O número de ordenações é
Passo 5
Multiplicando todas as escolhas e ordenações obtemos