Consideremos m elementos distintos. Destaquemos k dentre eles. Quantos arranjos simples daqueles m elementos, tomados n a n(Am, n), podemos formar, de modo que em cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer ordem de colocação, r(r<n) dos k elementos destacados?

Passo 1

O enunciado pede o número de arranjos simples de m elementos tomados n a n de modo que sempre apareça, como bloco contíguo, exatamente r dos k elementos destacados. O conteúdo é contagem de arranjos com restrição de bloco.

Passo 2

Primeiro escolhemos quais r dos k destacados formarão o bloco e a ordem interna desse bloco. Isso pode ser feito de
binomkr
maneiras para escolher o subconjunto e, para cada escolha, r! maneiras de permutá-los dentro do bloco.

Passo 3

Em seguida temos de preencher as outras n-r posições com elementos que não estão nesse bloco. Restam m-r elementos, dos quais escolhemos n-r sem ordem em
binomm-r,n-r,
maneiras.

Passo 4

Agora tratamos o bloco como um único “super-elemento”. No total teremos n-r elementos simples mais 1 bloco, ou seja n-r+1 objetos a ordenar. O número de ordenações é
(n-r+1)!

Passo 5

Multiplicando todas as escolhas e ordenações obtemos
binomkr;r!;binomm-r,n-r,;(n-r+1)!

Resposta

boxedbinomkr;r!;binomm-r,n-r,;(n-r+1)!

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