Consideremos um prisma hexagonal regular de altura h, cujo lado da base mede a, e um cilindro inscrito e circunscrito a esse prisma.
a) Calcule a área lateral e o volume do prisma.
b) Calcule a área lateral e o volume de cada um dos cilindros.
c) Determine a razão entre as áreas laterais e os volumes dos dois cilindros.

Passo 1

O enunciado dá um prisma reto de base hexagonal regular de lado a e altura h, e pede:
– (a) área lateral e volume do prisma;
– (b) área lateral e volume dos cilindros inscrito e circunscrito ao prisma;
– (c) razão entre as áreas laterais e entre os volumes desses dois cilindros.
Para isso precisamos usar fórmulas de área lateral e volume de prismas e cilindros, além das propriedades do hexágono regular (apotema e raio do círculo inscrito e circunscrito).

Passo 2

Vamos primeiro achar a área da base do hexágono regular. Seja R o raio da circunferência circunscrita (que em um hexágono regular vale R=a) e r o raio da circunferência inscrita (o apótema). O apótema de um hexágono de lado a satisfaz
r = raiz32,a
A área da base, que é um polígono de perímetro 6a e apótema r, é
Abase = perímetrotimes r2 = 6acdot l(raiz32ar)2 = 3raiz32,a^2 í

Passo 3

Para o prisma vale em geral
área lateral = (perímetro da base)times h, volume = (área da base)times h áíá
No nosso caso o perímetro da base é 6a, então
AL,prisma = 6a,h, Vprisma = 3raiz32,a^2,h

Passo 4

Para o cilindro circunscrito a um hexágono regular a base do cilindro é o círculo de raio R=a. Assim
AL,circ = 2pi R,h = 2pi a,h, Vcirc = pi R^2,h = pi a^2,h

Passo 5

Para o cilindro inscrito a base é o círculo de raio igual ao apótema r=tfracraiz32a. Logo
AL,insc = 2pi r,h = 2pi!l(raiz32ar)h = piraiz3,a,h,
Vinsc = pi r^2,h = pi!l(raiz32ar)^!2h = 3pi4,a^2,h

Passo 6

A razão entre as áreas laterais (inscrito sobre circunscrito) é
AL,inscAL,circ = piraiz3,a,h2pi a,h = raiz32
A razão entre os volumes (inscrito sobre circunscrito) é
VinscVcirc = tfrac3pi4a^2hpi a^2h = 34

Resposta

(a) AL,prisma = 6a,h, Vprisma = tfrac3raiz32,a^2,h
(b) AL,circ = 2pi a,h, Vcirc = pi a^2,h AL,insc = piraiz3,a,h, Vinsc = tfrac3pi4,a^2,h
(c) AL,inscAL,circ = raiz32,\quad
VinscVcirc = 34

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