Consideremos um prisma hexagonal regular de altura
, cujo lado da base mede a, e um cilindro inscrito e circunscrito a esse prisma.
a) Calcule a área lateral e o volume do prisma.
b) Calcule a área lateral e o volume de cada um dos cilindros.
c) Determine a razão entre as áreas laterais e os volumes dos dois cilindros.
a) Calcule a área lateral e o volume do prisma.
b) Calcule a área lateral e o volume de cada um dos cilindros.
c) Determine a razão entre as áreas laterais e os volumes dos dois cilindros.
Passo 1
O enunciado dá um prisma reto de base hexagonal regular de lado
e altura
, e pede:
– (a) área lateral e volume do prisma;
– (b) área lateral e volume dos cilindros inscrito e circunscrito ao prisma;
– (c) razão entre as áreas laterais e entre os volumes desses dois cilindros.
Para isso precisamos usar fórmulas de área lateral e volume de prismas e cilindros, além das propriedades do hexágono regular (apotema e raio do círculo inscrito e circunscrito).
– (a) área lateral e volume do prisma;
– (b) área lateral e volume dos cilindros inscrito e circunscrito ao prisma;
– (c) razão entre as áreas laterais e entre os volumes desses dois cilindros.
Para isso precisamos usar fórmulas de área lateral e volume de prismas e cilindros, além das propriedades do hexágono regular (apotema e raio do círculo inscrito e circunscrito).
Passo 2
Vamos primeiro achar a área da base do hexágono regular. Seja
o raio da circunferência circunscrita (que em um hexágono regular vale
) e
o raio da circunferência inscrita (o apótema). O apótema de um hexágono de lado
satisfaz
A área da base, que é um polígono de perímetro
e apótema
, é
Passo 3
Para o prisma vale em geral
No nosso caso o perímetro da base é
, então
Passo 4
Para o cilindro circunscrito a um hexágono regular a base do cilindro é o círculo de raio
. Assim
Passo 5
Para o cilindro inscrito a base é o círculo de raio igual ao apótema
. Logo
Passo 6
A razão entre as áreas laterais (inscrito sobre circunscrito) é
A razão entre os volumes (inscrito sobre circunscrito) é
Resposta
(a)
,
(b) ,
,
(c) \quad
(b)
(c)