Determine o volume de um tetraedro inscrito num cubo de 3 m de aresta.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tetraedro cujos vértices são quatro vértices de um cubo de aresta 3 m. Vamos usar coordenadas cartesianas para posicionar o cubo e aplicar a fórmula do volume de um tetraedro via produto misto (ou triplo).

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o cubo seja
0<= x<=3, 0<= y<=3, 0<= z<=3
Um tetraedro inscrito pode ser, por exemplo, aquele cujos vértices são
A=(0,0,0), B=(3,0,0), C=(0,3,0), D=(0,0,3)

Passo 3

O volume de um tetraedro com vértices em A, B, C e D é dado por
V = 16l|det(AB,,AC,,AD)r|

Passo 4

Calculamos os vetores
AB = (3,0,0), AC = (0,3,0), AD = (0,0,3)
O determinante destes três vetores é
det 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 = 3cdot3cdot3 = 27

Passo 5

Logo, o volume do tetraedro é
V = 16times 27 = 276 = 92

Resposta

V = 92,m^3 (ou 4,5,m^3).

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