Consideremos o sistema de 2 equações nas 2 incógnitas x, y :
\left\{\begin{array}{l} x-y=k x \\\\ -x+5 y=k y \end{array}\right.
a) qualquer que seja o valor de k. o sistema tem solução diferente da solução \mathrm{x}=0, \mathrm{y}=0.
b) existe pelo menos um valor k para o qual o sistema tem solução diferente da soluçän x=0, y=0.
c) para nenhum valor de k, o sistema tem solução diferente da solução x=0 . y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo de duas equações em duas incógnitas com parâmetro k\): \[\begin{cases} x - y = kx,\\\\ -\,x + 5y = ky, \end{cases}
e pergunta para quais valores de k\] existe solução não trivial \((x,y)\neq(0,0). O conteúdo utilizado será Sistemas Lineares e a condição de existência de solução não trivial: \det A=0.

Passo 2

Reescrevendo cada equação na forma padrão a\,x + b\,y=0, temos
(1-k)\,x - y = 0,
-\,x + (5-k)\,y = 0.
Dessa forma, a matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 - k & -1\\\\ -1 & 5 - k \end{pmatrix}.

Passo 3

Para um sistema homogêneo A\,(x,y)^T=0 ter solução não trivial, é necessário e suficiente que
\det A = 0.

Passo 4

Calculamos o determinante de A:
\det A = (1-k)(5-k) - (-1)\cdot(-1).

Passo 5

Expandindo,
(1-k)(5-k) = 5 - k -5k + k^2 = k^2 -6k +5,
portanto
\det A = k^2 -6k +5 -1 = k^2 -6k +4.
A condição \det A=0 gera a equação
k^2 - 6k + 4 = 0.

Passo 6

Resolvendo a quadrática por Bhaskara,
k = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}.
Assim, somente para k=3+\sqrt{5} ou k=3-\sqrt{5} o sistema admite soluções (x,y)\neq(0,0).

Passo 7

Concluímos que existem valores de k (na verdade dois) que tornam o determinante nulo e, portanto, garantem solução não trivial. A única alternativa que afirma que existe pelo menos um valor de k com essa propriedade é a letra (b).

Resposta

b)

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