Consideremos o sistema de 2 equações nas 2 incógnitas x, y :
\left\{\begin{array}{l} x-y=k x \\\\ -x+5 y=k y \end{array}\right.
a) qualquer que seja o valor de k. o sistema tem solução diferente da solução \mathrm{x}=0, \mathrm{y}=0.
b) existe pelo menos um valor k para o qual o sistema tem solução diferente da soluçän x=0, y=0.
c) para nenhum valor de k, o sistema tem solução diferente da solução x=0 . y=0.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema homogêneo de duas equações em duas incógnitas com parâmetro k\):
\[\begin{cases} x - y = kx,\\\\ -\,x + 5y = ky, \end{cases}
e pergunta para quais valores de k\] existe solução não trivial \((x,y)\neq(0,0). O conteúdo utilizado será Sistemas Lineares e a condição de existência de solução não trivial: \det A=0.
Passo 2
Reescrevendo cada equação na forma padrão a\,x + b\,y=0, temos
(1-k)\,x - y = 0,
-\,x + (5-k)\,y = 0.
Dessa forma, a matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 - k & -1\\\\ -1 & 5 - k \end{pmatrix}.
Passo 3
Para um sistema homogêneo A\,(x,y)^T=0 ter solução não trivial, é necessário e suficiente que
Assim, somente para k=3+\sqrt{5} ou k=3-\sqrt{5} o sistema admite soluções (x,y)\neq(0,0).
Passo 7
Concluímos que existem valores de k (na verdade dois) que tornam o determinante nulo e, portanto, garantem solução não trivial. A única alternativa que afirma que existe pelo menos um valor de k com essa propriedade é a letra (b).
Resposta
b)
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 32