(Unicamp-92) Sejam A e B duas matrizes de ordens n \times m e m \times n respectivamente, com \mathrm{m}<\mathrm{n}. Prove que \operatorname{det}( A.B )=0, baseado em propriedades do sistema de equações lineares.
\text { (A.B) }\left[\begin{array}{c} x_{1} \\\ x_{2} \\\ \cdot \\\ \cdot \\\ \cdot \\\ x_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\\\ 0 \\\ \cdot \\\ \cdot \\\\ 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A\in\mathbb{R}^{n\times m},\quad B\in\mathbb{R}^{m\times n}
com m<n, e pede para mostrar que
\det(AB)=0.
Como AB é uma matriz quadrada de ordem n, basta provar que ela não é inversível, isto é, que existe vetor não-nulo x\in\mathbb{R}^n tal que
(AB)x=0.

Passo 2

Considere o sistema homogêneo de m equações em n incógnitas dado por
B\,x=0,
onde B tem m linhas e n colunas com m<n. Por um resultado básico de sistemas lineares (teorema da dimensão do núcleo), o espaço solução de B\,x=0 tem dimensão pelo menos
n - \operatorname{rank}(B)\ge n - m > 0.
Logo existem vetores x\neq 0 tais que
B\,x=0.

Passo 3

Escolha um desses vetores x_0\neq 0 satisfazendo
B\,x_0=0.
Então
(AB)\,x_0 \;=\; A\,(B\,x_0)\;=\;A\,0\;=\;0.
Portanto, o sistema
(AB)\,x=0
também admite solução não-trivial x_0\neq0, o que significa que AB é singular.

Resposta

\displaystyle \det(AB)=0.

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