(Famerp-17) No estudo da dinảmic de populaçōes é comum ser necessári determinar o número real \lambda na equaçãc \operatorname{det}(M-\lambda I)=0, em que M é uma matriz quadrada, I é a matriz identidade. da mesma ordem de M, e det representa o determinante da matriz (M - \lambda I ). Se, em um desses estudos, tem-se \mathrm{M}= \left[\begin{array}{lll}0 & 17 & 2 \\\\ 2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right], o valor positivo de \lambda é igual a
a) 5 .
b) 8 .
c) 9 .
c) 6 .
d) 12 .

Passo 1

O enunciado pede o valor positivo de \lambda que satisfaz
\det\bigl(M - \lambda I\bigr)=0,
onde
M = \begin{pmatrix} 0 & 17 & 2\\\\ 2 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e I é a matriz identidade 3\times3. O conteúdo é achar os autovalores de M via o polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos
M - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 17 & 2\\\\ 2 & -\lambda & 0\\\\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
\det(M - \lambda I) = -\lambda \begin{vmatrix} -\lambda & 0\\\\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} -17 \begin{vmatrix} 2 & 0\\\\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} +2 \begin{vmatrix} 2 & -\lambda\\\\ 1 & 0 \end{vmatrix}.

Passo 3

Calculando cada menor:
\begin{aligned} \begin{vmatrix} -\lambda & 0\\\\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} &=\lambda^2,\\\ \begin{vmatrix} 2 & 0\\\\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} &=-2\lambda,\\\ \begin{vmatrix} 2 & -\lambda\\\\ 1 & 0 \end{vmatrix} &=\lambda. \end{aligned}
Logo
\det(M - \lambda I) = -\lambda\cdot\lambda^2 -17\cdot(-2\lambda)+2\cdot\lambda = -\lambda^3 +34\lambda +2\lambda = -\lambda^3 +36\lambda.

Passo 4

Impondo -\lambda^3+36\lambda=0 obtemos
\lambda(-\lambda^2+36)=0 \;\Longrightarrow\; \lambda=0,\;\lambda^2=36 \;\Longrightarrow\; \lambda= \pm6.
O valor positivo é \lambda=6.

Resposta

(d)

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