Consideremos um triângulo ABC e as bissetrizes interna e externa ao triângulo. Prove que:

Passo 1

Vamos introduzir notação conveniente. Seja no triângulo ABC\r a = BC, b = AB, c = AC
O ponto D está em BC tal que AD é bissetriz interna de ang<= A, e E está na reta BC (do lado de C) de modo que AE é bissetriz externa de ang<= A. Queremos provar que
raizAD^2+AE^2CD;-;raizAD^2+AE^2BD ;=;2
Para isso usaremos:
  1. O teorema da bissetriz (interna) para achar BD e CD.
  2. As fórmulas conhecidas para os comprimentos das bissetrizes interna e externa.

Passo 2

Pelo teorema da bissetriz interna de A temos
BDDC ;=;ABAC ;=;bc
Como BD+DC=a, segue
BD = abb+c, DC = acb+c

Passo 3

As fórmulas clássicas para as bissetrizes em um triângulo dizem:
AD^2 ;=; b,c;l[1 - a^2(b+c)^2r], AE^2 ;=; b,c;l[a^2(b-c)^2 - 1r]

Passo 4

Somando esses dois quadrados:
AD^2+AE^2 = bcl(1-a^2(b+c)^2r) + bcl(a^2(b-c)^2-1r) = bc,a^2l(1(b-c)^2-1(b+c)^2r)
Observe que
1(b-c)^2-1(b+c)^2 =(b+c)^2-(b-c)^2(b-c)^2(b+c)^2 =4bc(b-c)^2(b+c)^2
Logo
AD^2+AE^2 = bc,a^2;4bc(b-c)^2(b+c)^2 =4a^2b^2c^2(b-c)^2(b+c)^2

Passo 5

Logo
raizAD^2+AE^2 =2,a,b,c(b-c)(b+c)
Então
raizAD^2+AE^2CD =2abc(b-c)(b+c)acb+c = 2b,b-c,,
raizAD^2+AE^2BD =2abc(b-c)(b+c)abb+c = 2c,b-c,

Passo 6

Subtraindo as duas frações:
raizAD^2+AE^2CD -raizAD^2+AE^2BD = 2bb-c - 2cb-c = 2(b-c)b-c =2

Resposta

raizAD^2+AE^2CD -raizAD^2+AE^2BD =2

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