Dois círculos de raios 12 cm e 20 cm são tangentes externamente. Determine o comprimento do segmento , tangente comum aos dois círculos, sendo Pe Q pontos de tangência.
Passo 1
O enunciado apresenta dois círculos de raios R1=12 cm e R2=20 cm, tangentes externamente. Pede-se o comprimento do segmento de tangente comum PQ, cujos extremos são os pontos de tangência. Vamos usar propriedades de tangentes a círculos e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Sejam O1 e O2 os centros dos círculos de raios R1 e R2. Como o raio traçado até o ponto de tangência é perpendicular à tangente, temos
O1Pperp PQ e O2Qperp PQ
Ao projetar O1O2 nas direções paralela e perpendicular a PQ, formamos um triângulo retângulo cujos catetos medem lvert R2-R1rvert e PQ, e cuja hipotenusa é O1O2.
Passo 3
A distância entre centros é
O1O2=R1+R2=12+20=32 cm
e a diferença de raios é lvert R2-R1rvert=20-12=8 cm.
Pelo Teorema de Pitágoras:
PQ^2 + 8^2 = 32^2
PQ^2 = 32^2 - 8^2 = 1024 - 64 = 960
Passo 4
Extraindo a raiz positiva:
PQ = raiz960 = 8raiz15,cm
Resposta
8raiz15 cm
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 563