Consideremos um triângulo retângulo ABC , onde a medida de um ângulo agudo é alpha. Determine a medida do raio da circunferência inscrita em função de alpha e da hipotenusa a.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo ABC com hipotenusa de medida a e um ângulo agudo de medida alpha. Queremos o raio r da circunferência inscrita em função de alpha e de a. Para isso, vamos usar:
  • Relações trigonométricas em triângulos retângulos para expressar os catetos em função de a e alpha.
  • A fórmula do raio em círculos inscritos:
r = As,
onde A é a área do triângulo e s é o semiperímetro.

Passo 2

Chamando de b o cateto adjacente a alpha e de c o cateto oposto, temos pelas definições seno e cosseno:
b = acosalpha, c = asinalpha

Passo 3

A área A do triângulo retângulo é
A = b,c2 = (acosalpha)(asinalpha)2 = a^2sinalphacosalpha2

Passo 4

O semiperímetro s é metade da soma dos três lados:
s = a + b + c2 = a + acosalpha + asinalpha2 = al(1 + cosalpha + sinalphar)2

Passo 5

Substituindo em r = A/s, obtemos
r = a^2sinalphacosalpha2 al(1 + cosalpha + sinalphar)2 = a^2sinalphacosalphaal(1 + cosalpha + sinalphar) = a,sinalphacosalpha1 + sinalpha + cosalpha

Resposta

r = a,sinalphacosalpha1 + sinalpha + cosalpha

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