Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é o dobro do produto dos catetos. Calcule um dos ângulos agudos do triângulo.

Passo 1

O enunciado fala de um triângulo retângulo cujos catetos medem ,a e ,b e a hipotenusa mede ,c. A condição dada é
c^2 = 2ab
Para resolver vamos usar o Teorema de Pitágoras (que diz que c^2 = a^2 + b^2) e depois uma razão trigonométrica para encontrar um ângulo agudo.

Passo 2

Pelo Teorema de Pitágoras e pela condição do enunciado temos
a^2 + b^2 = c^2 = 2ab
Reorganizando,
a^2 - 2ab + b^2 = 0 Longrightarrow (a - b)^2 = 0 Longrightarrow a = b

Passo 3

Se a = b, o triângulo é retângulo isósceles e os dois ângulos agudos são iguais. Definindo alpha como um desses ângulos, temos
tan(alpha) = cateto opostocateto adjacente = ab = 1 Longrightarrow alpha = 45^circ

Resposta

45^circ

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