Para a constante positiva, calcule o comprimento da curva
y=x^22 a-a4 ln x
entre x=1 e x=2. Para que valor de a esse comprimento é máximo?

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
y = x^22a-a4ln x
no intervalo 1<= x<=2, em que a>0.
O conteúdo usado será o comprimento de arco de uma curva dada por y=y(x), que é
L=integralx1^x2raiz1+l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calcular a derivada
y'(x) =ddxl(x^22a-a4ln xr) =xa-a4x

Passo 3

Formar o integrando:
1+l(y'(x)r)^2 =1+l(xa-a4xr)^2 =(4x^2+a^2)^216,a^2x^2
Logo,
raiz1+(y')^2 =4x^2+a^24,a,x

Passo 4

Montar e calcular a integral:
L(a) =integral1^24x^2+a^24,a,x;dx =14aintegral1^2l(4x+a^2xr),dx
Separando:
integral1^24x,dx=[2x^2]1^2=8-2=6, integral1^2dxx=ln2
Portanto
L(a) =14al(6 + a^2ln2r) =32a+aln24

Passo 5

Para achar extremos, derivamos em relação a a:
dLda =-32a^2+ln24 =0 Longrightarrow a^2=6ln2 Longrightarrow a=raiz6ln2(a>0)
O segundo derivado é d^2Lda^2=3a^3>0, indicando que esse ponto é mínimo de L, não máximo.

Resposta

O comprimento é
L(a)=32a+aln24
Não existe valor de a>0 que torne L(a) máximo (pois Ltoinfty quando ato0 ou atoinfty); o único extremo ocorre em
a=raiz6ln2,
que dá o comprimento mínimo.

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