Construa os gráficos das funções em R definidas por:
f(x)=2^x+2^-x

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
f(x)=2^x+2^-x,
em R. Vamos usar conceitos de domínio, simetria (paridade), derivadas para monotonicidade e extremos, limites no infinito, e pontos auxiliares para esboçar o gráfico.

Passo 2

Domínio e simetria.
O domínio de f é todo R. Note que
f(-x)=2^-x+2^x=2^x+2^-x=f(x),
ou seja, f é função par e seu gráfico será simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Derivada e ponto crítico.
Usando a regra de derivação de 2^x, temos
f'(x)=ln(2),2^x-ln(2),2^-x =ln(2)l(2^x-2^-xr)
Para f'(x)=0 precisamos de 2^x=2^-x, o que ocorre só em x=0.

Passo 4

Segundo derivada e classificação do extremo.
A segunda derivada é
f''(x)=ln(2)^2l(2^x+2^-xr),
que é sempre positiva. Logo x=0 é um mínimo global.
O valor mínimo é
f(0)=2^0+2^0=1+1=2

Passo 5

Monotonicidade e limites.
Como f'(x)<0 em (-infty,0) e f'(x)>0 em (0,infty), a função decresce até x=0 e cresce depois.
Além disso,
limxtoinftyf(x)=infty e limxto-inftyf(x)=infty,
pois um dos termos domina exponencialmente em cada extremo.

Passo 6

Pontos auxiliares e esboço.
Calculemos alguns valores para x>0 e estendamos por simetria:
,(0,2), (1,2^1+2^-1=2,5), (2,2^2+2^-2=4,25).
Refletindo para x<0 temos (-1,2,5), (-2,4,25).
O gráfico é um “U” suave, com mínimo em (0,2) e crescimento exponencial para xtopminfty.

Resposta

O gráfico de y=2^x+2^-x é uma curva em formato de U, simétrica ao eixo y, com mínimo igual a 2 em x=0 e crescimento exponencial para xtopminfty. Pontos de referência: (0,2), (pm1,2,5), (pm2,4,25).

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