Construa os gráficos das funções em
definidas por:
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
em
. Vamos usar conceitos de domínio, simetria (paridade), derivadas para monotonicidade e extremos, limites no infinito, e pontos auxiliares para esboçar o gráfico.
Passo 2
Domínio e simetria.
O domínio de é todo
. Note que
O domínio de
ou seja,
é função par e seu gráfico será simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Derivada e ponto crítico.
Usando a regra de derivação de , temos
Usando a regra de derivação de
Para
precisamos de
, o que ocorre só em
.
Passo 4
Segundo derivada e classificação do extremo.
A segunda derivada é
A segunda derivada é
que é sempre positiva. Logo
é um mínimo global.
O valor mínimo é
O valor mínimo é
Passo 5
Monotonicidade e limites.
Como em
e
em
, a função decresce até
e cresce depois.
Além disso,
Como
Além disso,
pois um dos termos domina exponencialmente em cada extremo.
Passo 6
Pontos auxiliares e esboço.
Calculemos alguns valores para e estendamos por simetria:
,
,
.
Refletindo para temos
,
.
O gráfico é um “U” suave, com mínimo em e crescimento exponencial para
.
Calculemos alguns valores para
Refletindo para
O gráfico é um “U” suave, com mínimo em
Resposta
O gráfico de
é uma curva em formato de U, simétrica ao eixo
, com mínimo igual a
em
e crescimento exponencial para
. Pontos de referência:
,
,
.