Construir as curvas dadas, em coordenadas polares.
rho=a raizcos 2 varphi (lemniscata). 44. rho=a(1-cos varphi) (cardioïde).

Passo 1

O enunciado pede para “construir” duas curvas definidas em coordenadas polares:
  1. A lemniscata de Bernoulli dada por
rho = araizcos2varphi
  1. A cardioide dada por
rho = al(1 - cosvarphir)
O conteúdo principal é análise de domínio, simetrias e pontos notáveis em coordenadas polares, possivelmente convertendo para cartesianas para facilitar o esboço.

Passo 2

Análise da lemniscata rho = araizcos2varphi
  • Convertemos para cartesianas: rho^2 = x^2+y^2 e cos2varphi = dfracx^2-y^2x^2+y^2.
    Logo x^2 + y^2 = a^2,x^2 - y^2x^2 + y^2 Longrightarrow (x^2+y^2)^2 = a^2,(x^2 - y^2)
  • Domínio: precisamos de cos2varphi>=0, ou seja -tfracpi4 <= varphi <= tfracpi4 e tfrac3pi4 <= varphi <= tfrac5pi4
  • Pontos notáveis:
    varphi=0implies rho=a.
    varphi=pmtfracpi4implies rho=0.
    O mesmo para a segunda faixa deslocada em pi.
  • Simetria: em relação ao eixo x e ao eixo y. Dois “lóbulos” de raio máximo a ao longo de x.

Passo 3

Esboço da lemniscata
  1. No laço direito ( -pi/4<=varphi<=pi/4), a curva parte de (0,0) em varphi=-tfracpi4, cresce até (a,0) em varphi=0 e volta a (0,0) em varphi=+tfracpi4.
  2. No laço esquerdo ( 3pi/4<=varphi<=5pi/4), faz o mesmo espelhado em relação à origem.
  3. Desenhe dois laços “deitado” formando um 8 ao longo do eixo x.

Passo 4

Análise da cardioide rho = a(1 - cosvarphi)
  • Domínio natural: 0<= varphi<2pi.
  • Pontos notáveis:
    varphi=0implies rho=0 (cuspide na origem).
    varphi=piimplies rho=2a (ponto mais afastado em -x).
    varphi=tfracpi2 ou tfrac3pi2implies rho=a.
  • Simetria: simétrica em relação ao eixo x.

Passo 5

Esboço da cardioide
  1. Comece no cuspide (0,0) para varphi=0.
  2. Para varphi de 0 a pi, a curva se “inflará” até alcançar (-2a,0) em varphi=pi.
  3. Para varphi de pi a 2pi, retorna ao cuspide formando o “coraçãozinho”.
  4. Marque pontos intermédios em varphi=tfracpi2 e tfrac3pi2, ambos com rho=a, e una suavemente.

Resposta

a) Lemniscata de Bernoulli:
(x^2+y^2)^2 = a^2,(x^2 - y^2),
com dois laços simétricos ao longo do eixo x, cada um variando em varphiin[-tfracpi4,tfracpi4] e varphiin[tfrac3pi4,tfrac5pi4], alcançando raio máximo rho=a.
b) Cardioide:
rho = al(1 - cosvarphir),
com cuspide na origem ( varphi=0), ponto mais afastado (-2a,0) em varphi=pi e simetria no eixo x.

Exercícios de Livros Relacionados