Construir as curvas dadas, em coordenadas polares.
(lemniscata). 44.
(cardioïde).
Passo 1
O enunciado pede para “construir” duas curvas definidas em coordenadas polares:
- A lemniscata de Bernoulli dada por
- A cardioide dada por
O conteúdo principal é análise de domínio, simetrias e pontos notáveis em coordenadas polares, possivelmente convertendo para cartesianas para facilitar o esboço.
Passo 2
Análise da lemniscata
- Convertemos para cartesianas:
e .
Logo - Domínio: precisamos de
, ou seja - Pontos notáveis:
.
.
O mesmo para a segunda faixa deslocada em. - Simetria: em relação ao eixo
e ao eixo . Dois “lóbulos” de raio máximo ao longo de .
Passo 3
Esboço da lemniscata
- No laço direito (
), a curva parte de em , cresce até em e volta a em . - No laço esquerdo (
), faz o mesmo espelhado em relação à origem. - Desenhe dois laços “deitado” formando um 8 ao longo do eixo
.
Passo 4
Análise da cardioide
- Domínio natural:
. - Pontos notáveis:
(cuspide na origem).
(ponto mais afastado em ).
ou . - Simetria: simétrica em relação ao eixo
.
Passo 5
Esboço da cardioide
- Comece no cuspide
para . - Para
de a , a curva se “inflará” até alcançar em . - Para
de a , retorna ao cuspide formando o “coraçãozinho”. - Marque pontos intermédios em
e , ambos com , e una suavemente.
Resposta
a) Lemniscata de Bernoulli:
com dois laços simétricos ao longo do eixo
, cada um variando em
e
, alcançando raio máximo
.
b) Cardioide:
com cuspide na origem (
), ponto mais afastado
em
e simetria no eixo
.