Construir o gráfico das funções seguintes:
y=11-x^2.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
y = 11 - x^2
Para isso vamos analisar: domínio, assíntotas, sinal da função, comportamento nas assíntotas, alguns pontos concretos e, por fim, o esboço.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas verticais.
O denominador não pode ser zero, logo
1 - x^2 neq 0 Longrightarrow x neq pm 1
Logo o domínio é
Rsetminus,-1,,1,
e há assíntotas verticais em
x = -1 e x = 1

Passo 3

Determinar a assíntota horizontal.
Para xtopminfty, o grau do denominador é maior que o do numerador, então
limxtopminfty 11 - x^2 = 0
Portanto há assíntota horizontal
y = 0

Passo 4

Analisar o sinal de y.
O numerador 1 é sempre positivo. O denominador 1 - x^2 é positivo quando |x|<1 e negativo quando |x|>1.
Logo
y>0 em (-1,1)
e
y<0 em (-infty,-1)cup(1,infty).

Passo 5

Comportamento próximo às assíntotas (limites laterais).
limxto 1^-11-x^2=+infty, limxto 1^+11-x^2=-infty,
limxto -1^-11-x^2=-infty, limxto -1^+11-x^2=+infty

Passo 6

Calcular alguns pontos para guiar o esboço.
Para x=0:
y=11-0=1
Para x=pm12:
y=11-(1/4)=13/4=43
Para x=pm2:
y=11-4=-tfrac13

Passo 7

Esboçar o gráfico reunindo tudo:
  • Em (-1,1): ramo positivo que parte de +infty em xto -1^+, decresce até (0,1), atinge (pm12,43) e sobe de novo para +infty em xto1^-.
  • Em (1,infty): ramo negativo que sai de -infty em xto1^+ e tende a 0^- quando xto+infty, passando por (2,-tfrac13).
  • Em (-infty,-1): ramo negativo que sai de 0^- quando xto-infty e vai a -infty em xto-1^-, passando por (-2,-tfrac13).

Resposta

O gráfico de y=11-x^2 possui:
– domínio Rsetminus,-1,,1;
– assíntotas verticais x=-1 e x=1;
– assíntota horizontal y=0;
– ramo positivo em (-1,1) unindo (0,1) a +infty nas bordas;
– ramos negativos em (-infty,-1) e (1,infty), aproximando-se de 0 à distância infinita e de -infty junto às assíntotas.

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