Construir o gráfico das funções seguintes:
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
Para isso vamos analisar: domínio, assíntotas, sinal da função, comportamento nas assíntotas, alguns pontos concretos e, por fim, o esboço.
Passo 2
Determinar o domínio e as assíntotas verticais.
O denominador não pode ser zero, logo
O denominador não pode ser zero, logo
Logo o domínio é
e há assíntotas verticais em
Passo 3
Determinar a assíntota horizontal.
Para , o grau do denominador é maior que o do numerador, então
Para
Portanto há assíntota horizontal
Passo 4
Analisar o sinal de
.
O numerador é sempre positivo. O denominador
é positivo quando
e negativo quando
.
Logo
em
e
em
.
O numerador
Logo
e
Passo 5
Comportamento próximo às assíntotas (limites laterais).
Passo 6
Calcular alguns pontos para guiar o esboço.
Para :
Para
Para
:
Para
:
Passo 7
Esboçar o gráfico reunindo tudo:
- Em
: ramo positivo que parte de em , decresce até , atinge e sobe de novo para em . - Em
: ramo negativo que sai de em e tende a quando , passando por . - Em
: ramo negativo que sai de quando e vai a em , passando por .
Resposta
O gráfico de
possui:
– domínio ;
– assíntotas verticais e
;
– assíntota horizontal ;
– ramo positivo em unindo
a
nas bordas;
– ramos negativos em e
, aproximando-se de 0 à distância infinita e de
junto às assíntotas.
– domínio
– assíntotas verticais
– assíntota horizontal
– ramo positivo em
– ramos negativos em